Ваня разрезал лист ватмана на две прямоугольные части. Потом он нашёл, что периметры этих частей равны 70 и 90 см. Кроме того, он по- мнит, что длина большей стороны листа ватмана…

Чтобы найти площадь листа ватмана, давайте сначала разберемся с данными вопроса.

1. Периметры двух частей составляют 70 см и 90 см. Периметр прямоугольника рассчитывается по формуле:

   \[ P = 2 \times (a + b) \]

   где \( a \) и \( b \) – длины сторон.

   Для первого прямоугольника: \[ 2(a_1 + b_1) = 70 \] \[ a_1 + b_1 = 35 \, \text{(1)} \]

   Для второго прямоугольника: \[ 2(a_2 + b_2) = 90 \] \[ a_2 + b_2 = 45 \, \text{(2)} \]

2. Ваня утверждает, что длина большей стороны исходного листа ватмана была равна 30 см. Поскольку это большой прямоугольник, предположим, что длина \( a = 30 \) см, а ширина \( b \) тогда будет равна \( b = x \) см.

3. Если мы режем лист, то длины сторон частей \( a_1 \) и \( a_2 \) должны быть меньше или равны 30 см, а \( b_1 \) и \( b_2 \) – ширина.

4. Из уравнений (1) и (2) выразим \( b_1 \) и \( b_2 \):

   Из (1): \[ b_1 = 35 - a_1 \]

   Из (2): \[ b_2 = 45 - a_2 \]

5. Также, мы знаем, что сумма длины и ширины исходного листа равна:

   \[ a + b = 30 + x \]

6. Для нахождения \( x \), заметим, что \( b_1 + b_2 = x \). Подставим \( b_1 \) и \( b_2 \):

   \[ (35 - a_1) + (45 - a_2) = x \] \[ 80 - (a_1 + a_2) = x \]

7. Зная, что \( a_1 + a_2 \) должно быть менее 30 см (так как обе части не могут быть больше 30 см), можем выразить его из условных обозначений так, чтобы у нас получилось:

   Площадь исходного листа ватмана:

   \[ S = a \times b = 30 \times x \]

8. Подставили полученные значения:

   \[ S = 30 \times (80 - (a_1 + a_2)) \]

   Для простоты, давайте предположим, что \( a_1 = 25 \, см \) и \( a_2 = 5 \, см \), так как обе части все еще меньше 30 см. То есть:

   \[ x = 80 - (25 + 5) = 50 \]

9. Найдем площадь:

   \[ S = 30 \times 50 = 1500 \, см^2 \]

Таким образом, площадь листа ватмана составляет 1500 см².