Дано комплексное число в показательной форме Z =x+it 1построить данное комплексное на комплексной плоскости 2Определить модуль заданного комплексного числа 3 записать данное число в тригонометрической форме 1 Z =2+2i 2 Z= 2+4i 3 Z = -2+3i 4 Z = -5-2i

Давайте рассмотрим каждое из комплексных чисел и выполним указанные вами действия.

1. Построить комплексные числа на комплексной плоскости.

Комплексные числа имеют вид \( Z = x + iy \), где \( x \) — это действительная часть, а \( y \) — мнимая часть. Мы будем строить каждое число, используя координаты на комплексной плоскости.

1. Z = 2 + 2i:

   • Действительная часть: 2 (по оси Х)
   • Мнимая часть: 2 (по оси Y)
   • Точка расположена в координатах (2, 2).

2. Z = 2 + 4i:

   • Действительная часть: 2
   • Мнимая часть: 4
   • Точка расположена в координатах (2, 4).

3. Z = -2 + 3i:

   • Действительная часть: -2
   • Мнимая часть: 3
   • Точка расположена в координатах (-2, 3).

4. Z = -5 - 2i:

   • Действительная часть: -5
   • Мнимая часть: -2
   • Точка расположена в координатах (-5, -2).

2. Определить модуль заданных комплексных чисел.

Модуль комплексного числа \( Z = x + iy \) вычисляется по формуле:

\[ |Z| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

1. Для Z = 2 + 2i: \[ |Z| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

2. Для Z = 2 + 4i: \[ |Z| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

3. Для Z = -2 + 3i: \[ |Z| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \]

4. Для Z = -5 - 2i: \[ |Z| = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \]

3. Записать данные числа в тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма комплексного числа записывается как:

\[ Z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \]

где \( r \) — модуль, а \( \theta \) — аргумент, который определяется как \( \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \).

1. Z = 2 + 2i:

   • Модуль: \( r = 2\sqrt{2} \)
   • Аргумент: \( \theta = \arctan\left(\frac{2}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \)
   • Тригонометрическая форма: \( Z = 2\sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4} \right) \)

2. Z = 2 + 4i:

   • Модуль: \( r = 2\sqrt{5} \)
   • Аргумент: \( \theta = \arctan\left(\frac{4}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \)
   • Тригонометрическая форма: \( Z = 2\sqrt{5} \left( \cos\frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2} \right) \)

3. Z = -2 + 3i:

   • Модуль: \( r = \sqrt{13} \)
   • Аргумент: \( \theta = \arctan\left(\frac{3}{-2}\right) + \pi = \frac{3\pi}{4} \)
   • Тригонометрическая форма: \( Z = \sqrt{13} \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i \sin\frac{3\pi}{4} \right) \)

4. Z = -5 - 2i:

   • Модуль: \( r = \sqrt{29} \)
   • Аргумент: \( \theta = \arctan\left(\frac{-2}{-5}\right) + \pi = \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4} \)
   • Тригонометрическая форма: \( Z = \sqrt{29} \left( \cos\frac{7\pi}{4} + i \sin\frac{7\pi}{4} \right) \)

Если вам нужно больше информации или дополнительные пояснения по этим пунктам, всегда рад помочь!