Двигаясь равномерно по круговой дорожке радиусом 1 км, велосипедист проходит каждый круг за 8 мин. Чему равны пройденный велосипедистом путь и его перемещение: а) за 2 мин; б) за 4 мин; в) за 8 мин; г) за 12 мин?

Question 1

Задача Задача №1456855

А

Аноним

10 сентября 2024 15:29 · публичный вопрос

А

Аноним 10 сентября 2024 15:29

Двигаясь равномерно по круговой дорожке радиусом 1 км, велосипедист проходит каждый круг за 8 мин. Чему равны пройденный велосипедистом путь и его перемещение: а) за 2 мин; б) за 4 мин; в) за 8 мин; г) за 12 мин?

Answer

Для решения данной задачи начнем с поиска длины пути, проходимого велосипедистом за один круг. Длина окружности рассчитывается по формуле:

\[ L = 2 \pi r \]

где \( r \) – радиус. Подставим радиус 1 км:

\[ L = 2 \pi \cdot 1 \text{ км} = 2 \pi \text{ км} \approx 6.28 \text{ км} \]

Теперь определим скорость велосипедиста. Он проходит один круг (6.28 км) за 8 минут, поэтому его скорость будет:

\[ v = \frac{L}{t} = \frac{2\pi \text{ км}}{8 \text{ мин}} = \frac{2\pi}{8} \text{ км/мин} = \frac{\pi}{4} \text{ км/мин} \]

Теперь можем найти пройденный путь и перемещение для каждого из заданных временных интервалов:

а) За 2 минуты:

Пройденный путь: \[ S = v \cdot t = \frac{\pi}{4} \cdot 2 = \frac{\pi}{2} \text{ км} \approx 1.57 \text{ км} \]
Перемещение: за 2 минуты велосипедист пройдет 1/4 окружности, следовательно, перемещение будет равным радиусу вектора от начальной точки к конечной точке на окружности. Перемещение будет равно:

\[ \text{Перемещение} = 2 \text{ км} \sin\left(\frac{90^\circ}{2}\right) = 2 \cdot 1 = 1 \text{ км} \]

б) За 4 минуты:

Пройденный путь: \[ S = v \cdot t = \frac{\pi}{4} \cdot 4 = \pi \text{ км} \approx 3.14 \text{ км} \]
Перемещение: за 4 минуты велосипедист пройдет 1/2 окружности, перемещение будет равно диаметру окружности:

\[ \text{Перемещение} = 2 \text{ км} \]

в) За 8 минут:

Пройденный путь: \[ S = v \cdot t = \frac{\pi}{4} \cdot 8 = 2\pi \text{ км} \approx 6.28 \text{ км} \]
Перемещение: за 8 минут велосипедист вернется в начальную точку, поэтому перемещение равно 0:

\[ \text{Перемещение} = 0 \text{ км} \]

г) За 12 минут:

Пройденный путь: \[ S = v \cdot t = \frac{\pi}{4} \cdot 12 = 3\pi \text{ км} \approx 9.42 \text{ км} \]
Перемещение: каждые 8 минут велосипедист возвращается в начальную точку. На 12 минут он пройдет один полный круг и еще 4 минуты, что равно 1/2 окружности, перемещение будет равно диаметру:

\[ \text{Перемещение} = 2 \text{ км} \]

Итак, подводя итоги, получаем:

а) Пройденный путь: ≈ 1.57 км, Перемещение: 1 км.

б) Пройденный путь: ≈ 3.14 км, Перемещение: 2 км.

в) Пройденный путь: ≈ 6.28 км, Перемещение: 0 км.

г) Пройденный путь: ≈ 9.42 км, Перемещение: 2 км.

Question 2

Двигаясь равномерно по круговой дорожке радиусом 1 км, велосипедист проходит каждый круг за 8 мин. Чему равны пройденный велосипедистом путь и его перемещение: а) за 2 мин; б) за 4 мин; в) за 8 мин; г) за 12 мин?

Answer

Для решения данной задачи начнем с поиска длины пути, проходимого велосипедистом за один круг. Длина окружности рассчитывается по формуле: \[ L = 2 \pi r \] где \( r \) – радиус. Подставим радиус 1 км: \[ L = 2 \pi \cdot 1 \text{ км} = 2 \pi \text{ км} \approx 6.28 \text{ км} \] Теперь определим скорость велосипедиста. Он проходит один круг (6.28 км) за 8 минут, поэтому его скорость будет: \[ v = \frac{L}{t} = \frac{2\pi \text{ км}}{8 \text{ мин}} = \frac{2\pi}{8} \text{ км/мин} = \frac{\pi}{4} \text{ км/мин} \] Теперь можем найти пройденный путь и перемещение для каждого из заданных временных интервалов: а) **За 2 минуты:** - Пройденный путь: \[ S = v \cdot t = \frac{\pi}{4} \cdot 2 = \frac{\pi}{2} \text{ км} \approx 1.57 \text{ км} \] - Перемещение: за 2 минуты велосипедист пройдет 1/4 окружности, следовательно, перемещение будет равным радиусу вектора от начальной точки к конечной точке на окружности. Перемещение будет равно: \[ \text{Перемещение} = 2 \text{ км} \sin\left(\frac{90^\circ}{2}\right) = 2 \cdot 1 = 1 \text{ км} \] б) **За 4 минуты:** - Пройденный путь: \[ S = v \cdot t = \frac{\pi}{4} \cdot 4 = \pi \text{ км} \approx 3.14 \text{ км} \] - Перемещение: за 4 минуты велосипедист пройдет 1/2 окружности, перемещение будет равно диаметру окружности: \[ \text{Перемещение} = 2 \text{ км} \] в) **За 8 минут:** - Пройденный путь: \[ S = v \cdot t = \frac{\pi}{4} \cdot 8 = 2\pi \text{ км} \approx 6.28 \text{ км} \] - Перемещение: за 8 минут велосипедист вернется в начальную точку, поэтому перемещение равно 0: \[ \text{Перемещение} = 0 \text{ км} \] г) **За 12 минут:** - Пройденный путь: \[ S = v \cdot t = \frac{\pi}{4} \cdot 12 = 3\pi \text{ км} \approx 9.42 \text{ км} \] - Перемещение: каждые 8 минут велосипедист возвращается в начальную точку. На 12 минут он пройдет один полный круг и еще 4 минуты, что равно 1/2 окружности, перемещение будет равно диаметру: \[ \text{Перемещение} = 2 \text{ км} \] Итак, подводя итоги, получаем: а) Пройденный путь: ≈ 1.57 км, Перемещение: 1 км. б) Пройденный путь: ≈ 3.14 км, Перемещение: 2 км. в) Пройденный путь: ≈ 6.28 км, Перемещение: 0 км. г) Пройденный путь: ≈ 9.42 км, Перемещение: 2 км.