Z =2+2i в показательной

Чтобы представить комплексное число \( z = 2 + 2i \) в показательной форме, нам нужно использовать формулу Эйлера и модульно-аргументную форму.

1. Найдём модуль \( r \) комплексного числа: \[ r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

2. Найдём аргумент \( \theta \): \[ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) = \arctan\left(\frac{2}{2}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \] Здесь \( a = 2 \) и \( b = 2 \).

3. Запишем показательную форму: Используя формулу Эйлера, \( z \) можно представить как: \[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = r \cdot e^{i\theta} \] Таким образом, подставим значения: \[ z = 2\sqrt{2} \cdot \left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2} \cdot e^{i\frac{\pi}{4}} \]

Итак, комплексное число \( z = 2 + 2i \) в показательной форме записывается как: \[ z = 2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше объяснений по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!