Z=2+4i в показательной форме

Чтобы представить комплексное число \( z = 2 + 4i \) в показательной форме, сначала нужно найти его модуль и аргумент.

1. Находим модуль \( |z| \): \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

2. Находим аргумент \( \theta \): Аргумент можно найти с помощью формулы \( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \), где \( a \) и \( b \) - действительная и мнимая части соответственно. В нашем случае: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{2}\right) = \tan^{-1}(2) \] Это значение может быть приближено с помощью калькулятора, но для практических целей мы можем оставить его как \( \tan^{-1}(2) \).

3. Записываем комплексное число в показательной форме: Теперь, когда мы знаем модуль и аргумент, мы можем записать \( z \) в показательной форме: \[ z = |z| \cdot e^{i\theta} = 2\sqrt{5} \cdot e^{i \tan^{-1}(2)} \]

Таким образом, комплексное число \( z = 2 + 4i \) в показательной форме можно записать как \( z = 2\sqrt{5} \cdot e^{i \tan^{-1}(2)} \).