найдите наибольшее значение функции y=5+9x-x³/3 на отрезке [-3;3]
Чтобы найти наибольшее значение функции \( y = 5 + 9x - \frac{x^3}{3} \) на отрезке \([-3; 3]\), нам нужно выполнить несколько шагов.
Найдите производную функции:
Для начала вычислим первую производную функции \( y \): \[ y' = 9 - x^2 \]
Найдите критические точки:
Установим производную равной нулю, чтобы найти критические точки: \[ 9 - x^2 = 0 \] Решив это уравнение, получаем: \[ x^2 = 9 \implies x = 3 \text{ или } x = -3 \] Однако, на отрезке \([-3; 3]\) у нас есть еще один интересный случай: значения, для которых производная может меняться. Это происходит в точке \( x = 3 \) и \( x = -3 \) как границы отрезка.
Вычислите значение функции в критических точках и на границах отрезка:
Теперь вычислим значение функции \( y \) в найденных крайних точках и в критических точках:
В точке \( x = -3 \): \[ y(-3) = 5 + 9(-3) - \frac{(-3)^3}{3} = 5 - 27 + 9 = -13 \]
В точке \( x = 3 \): \[ y(3) = 5 + 9(3) - \frac{(3)^3}{3} = 5 + 27 - 9 = 23 \]
Подведем итоги:
Мы находим значения функции на границах и в критических точках:
- \( y(-3) = -13 \)
- \( y(3) = 23 \)
На отрезке \([-3; 3]\) наибольшее значение функции \( y = 5 + 9x - \frac{x^3}{3} \) достигается в точке \( x = 3 \) и составляет 23.
Таким образом, наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 23.
