Выясните, делится ли число a на число b без остатка, если: a=2×2×2×3×5×7 и b=2×3×7

Чтобы выяснить, делится ли число \( a \) на число \( b \) без остатка, нужно рассмотреть их разложение на простые множители.

Дано:

• \( a = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7 \), что можно записать как \( a = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 \).
• \( b = 2 \times 3 \times 7 \), что можно записать как \( b = 2^1 \times 3^1 \times 7^1 \).

Теперь посмотрим, делится ли \( a \) на \( b \):

Чтобы число \( a \) делилось на число \( b \), необходимо, чтобы все показатели степеней простых множителей в разложении \( b \) были меньше или равны соответствующим показателям в разложении \( a \).

1. Для числа \( 2 \):

   • В \( a \) показатель = 3, в \( b \) показатель = 1. (3 ≥ 1)

2. Для числа \( 3 \):

   • В \( a \) показатель = 1, в \( b \) показатель = 1. (1 ≥ 1)

3. Для числа \( 7 \):

   • В \( a \) показатель = 1, в \( b \) показатель = 1. (1 ≥ 1)

4. Для числа \( 5 \):

   • В \( a \) показатель = 1, в \( b \) его нет. (т.е. 0 < 1; здесь нету проверяемого показателя в \( b \), что позволяет делить)

Таким образом, поскольку все условия выполнены, можно сделать вывод, что число \( a \) действительно делится на число \( b \) без остатка.

Ответ: да, \( a \) делится на \( b \) без остатка.