4х^2 - 9х-90>0
Чтобы решить неравенство \(4x^2 - 9x - 90 > 0\), начнем с поиска его корней. Для этого мы можем использовать дискриминант.
Для квадратичного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) дискриминант \(D\) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] В нашем случае \(a = 4\), \(b = -9\), и \(c = -90\). Подставим эти значения в формулу дискриминанта: \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-90) = 81 + 1440 = 1521 \]
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения \(b\), \(D\), и \(a\): \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{1521}}{8} \]
Корень из 1521 равен 39, поэтому: \[ x = \frac{9 \pm 39}{8} \] Теперь найдем два корня:
- \(x_1 = \frac{9 + 39}{8} = \frac{48}{8} = 6\)
- \(x_2 = \frac{9 - 39}{8} = \frac{-30}{8} = -\frac{15}{4}\)
Теперь у нас есть корни \(x_1 = 6\) и \(x_2 = -\frac{15}{4}\). Следующий шаг - выяснить, где выражение \(4x^2 - 9x - 90\) больше нуля. Мы рассмотрим промежутки, определённые корнями:
- \(x < -\frac{15}{4}\)
- \(-\frac{15}{4} < x < 6\)
- \(x > 6\)
Мы проверим знак выражения в каждом из этих промежутков:
Для \(x < -\frac{15}{4}\), выберем, например, \(x = -4\): \[ 4(-4)^2 - 9(-4) - 90 = 64 + 36 - 90 = 10 > 0 \]
Для \(-\frac{15}{4} < x < 6\), возьмем, например, \(x = 0\): \[ 4(0)^2 - 9(0) - 90 = -90 < 0 \]
Для \(x > 6\), возьмем, например, \(x = 7\): \[ 4(7)^2 - 9(7) - 90 = 196 - 63 - 90 = 43 > 0 \]
Таким образом, неравенство (4x^2 - 9x - 90 > 0\ выполняется на промежутках: \[ x < -\frac{15}{4} \quad \text{и} \quad x > 6 \]
В заключение, решение неравенства: \[ x \in \left(-\infty, -\frac{15}{4}\right) \cup (6, +\infty) \]
