неравенство ((x - 2) ^ 2)/((x + 3)(x - 1)) <= 0
Чтобы решить неравенство \(\frac{(x - 2)^2}{(x + 3)(x - 1)} \leq 0\), сначала определим, когда числитель и знаменатель равны нулю, так как это поможет нам определить значения, в которых происходит изменение знака.
Найдем нули числителя: \((x - 2)^2 = 0\)
Это уравнение имеет один корень:
\(x = 2\).Найдем нули знаменателя: \((x + 3)(x - 1) = 0\)
Это уравнение имеет два корня:
\(x = -3\) и \(x = 1\).
Теперь мы имеем три ключевых значения: \(x = -3\), \(x = 1\) и \(x = 2\). Эти значения разбивают числовую прямую на четыре интервала:
- \((-\infty, -3)\)
- \((-3, 1)\)
- \((1, 2)\)
- \((2, +\infty)\)
Теперь необходимо протестировать каждый из интервалов на знаки выражения \(\frac{(x - 2)^2}{(x + 3)(x - 1)}\).
- Тестирование интервалов:
Для интервала \((-\infty, -3)\), например, возьмем \(x = -4\): \(\frac{(-4 - 2)^2}{(-4 + 3)(-4 - 1)} = \frac{36}{(-1)(-5)} > 0\)
Для интервала \((-3, 1)\), например, возьмем \(x = 0\): \(\frac{(0 - 2)^2}{(0 + 3)(0 - 1)} = \frac{4}{3 \cdot (-1)} < 0\)
Для интервала \((1, 2)\), например, возьмем \(x = 1.5\): \(\frac{(1.5 - 2)^2}{(1.5 + 3)(1.5 - 1)} = \frac{0.25}{(4.5)(0.5)} > 0\)
Для интервала \((2, +\infty)\), например, возьмем \(x = 3\): \(\frac{(3 - 2)^2}{(3 + 3)(3 - 1)} = \frac{1}{6} > 0\)
- Анализ полученных знаков:
Теперь мы можем сделать вывод о знаках на каждом интервале:
- \((-\infty, -3)\) - положительно.
- \((-3, 1)\) - отрицательно.
- \((1, 2)\) - положительно.
- \((2, +\infty)\) - положительно.
Определяем, где неравенство выполняется: Мы ищем, где \(\frac{(x - 2)^2}{(x + 3)(x - 1)} \leq 0\). Это выполняется на интервале \((-3, 1)\), потому что на этом интервале выражение отрицательное. Также \(x = 2\) — это точка, в которой числитель равен нулю, поэтому включаем её в решение.
Итоговое решение: Ответ: \((-3, 1) \cup \{2\}\).
