Друзья купили 51 набор по 12 шариков часть шариков оставили дома а остальные взяли собой друзья заметили что на каждой ёлке число шариков делится на 34 докажите что если друзья украшут ёлку дома оставшимися шариками то их число тоже будет делится на 34

Давайте разберемся с задачей. Итак, у нас есть 51 набор по 12 шариков. Сначала посчитаем общее количество шариков:

\[ 51 \times 12 = 612 \]

Теперь, когда друзья взяли часть шариков с собой, оставшаяся часть оставшихся шариков равна:

\[ 612 - x \]

где \( x \) — это количество шариков, которые друзья взяли с собой.

Друзья заметили, что на каждой ёлке количество шариков делится на 34. Это значит, что количество шариков, которое они использовали для украшения ёлок, обозначим как \( y \), удовлетворяет условию:

\[ y \equiv 0 \mod 34 \]

Это значит, что \( y = 34k \) для некоторого целого числа \( k \).

Теперь, если они украсят ёлку дома оставшимися шариками, то их количество можно записать как:

\[ 612 - y = 612 - 34k \]

Теперь мы покажем, что это число тоже делится на 34. Для этого можем переписать:

\[ 612 - 34k = 34 \times (18 - k) \]

Здесь мы заметили, что 612 делится на 34, так как 612 = 34 × 18. Таким образом, \( 612 - y \) также делится на 34, поскольку мы вычитаем \( 34k \).

Итак, мы доказали, что если друзья украсят ёлку дома оставшимися шариками, то их количество также будет делиться на 34.