Сторона ромба ABCD дорівнюе 4,

Чтобы найти скалярный добуток векторов \( \vec{DA} \) и \( \vec{DC} \) для ромба \( ABCD \) с углом \( A = 45^\circ \) и стороной \( AB = 4 \), нужно сначала определить координаты этих векторов.

1. Координаты вершин ромба:

   • Пусть точка \( A \) имеет координаты \( (0, 0) \).
   • Точка \( B \) будет на оси \( x \), поэтому её координаты \( (4, 0) \).
   • Угол \( A \) равен \( 45^\circ \), это означает, что вектора \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \) имеют одинаковые длины, но идут в разные стороны.
   • Расставим координаты:
     • Точка \( D \) будет находиться под углом \( 45^\circ \) от точки \( A \) с длиной \( 4 \):
       • \( D(4\cos(45^\circ), 4\sin(45^\circ)) = (4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \).
     • Точка \( C \) будет на одной прямой с точки \( D \) и на стороне \( AB \), так что её координаты:
       • \( C(4, 4) \).

2. Векторы:

   • Вектор \( \vec{DA} = A - D = (0 - 2\sqrt{2}, 0 - 2\sqrt{2}) = (-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2}) \).
   • Вектор \( \vec{DC} = C - D = (4 - 2\sqrt{2}, 4 - 2\sqrt{2}) \).

3. Скалярный добуток векторов: Скалярный добуток \( \vec{DA} \cdot \vec{DC} \) определяется как: \[ \vec{DA} \cdot \vec{DC} = (-2\sqrt{2}) \cdot (4 - 2\sqrt{2}) + (-2\sqrt{2}) \cdot (4 - 2\sqrt{2}). \] Распишем: \[ \vec{DA} \cdot \vec{DC} = -2\sqrt{2}(4) + 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = -8\sqrt{2} + 8 = 8 - 8\sqrt{2}. \]

Итак, скалярный добуток векторов \( \vec{DA} \) и \( \vec{DC} \) равен \( 8 - 8\sqrt{2} \).