х²(х-9)>0

Чтобы решить неравенство \( x^2(x-9) > 0 \), начнём с нахождения нулевых точек, когда выражение равно нулю.

1. Найдем нули функции: \[ x^2(x-9) = 0 \] Это уравнение равно нулю, когда \( x^2 = 0 \) или \( x - 9 = 0 \). Это дает нам следующие корни:

   • \( x = 0 \)
   • \( x = 9 \)

2. Определим интервалы: У нас есть три интервала, которые следует рассмотреть:

   • \( (-\infty, 0) \)
   • \( (0, 9) \)
   • \( (9, +\infty) \)

3. Проверим знак выражения на этих интервалах:

   • На интервале \( (-\infty, 0) \), выберем, например, \( x = -1 \): \[ (-1)^2(-1-9) = 1 \cdot (-10) = -10 < 0 \]
   • На интервале \( (0, 9) \), выберем, например, \( x = 1 \): \[ (1)^2(1-9) = 1 \cdot (-8) = -8 < 0 \]
   • На интервале \( (9, +\infty) \), выберем, например, \( x = 10 \): \[ (10)^2(10-9) = 100 \cdot 1 = 100 > 0 \]

4. Результаты: Мы получили следующие знаки:

   • Для \( x < 0 \): \( x^2(x-9) < 0 \)
   • Для \( 0 < x < 9 \): \( x^2(x-9) < 0 \)
   • Для \( x > 9 \): \( x^2(x-9) > 0 \)

5. Запишем решение: Таким образом, неравенство \( x^2(x-9) > 0 \) выполняется на интервале: \[ (9, +\infty) \]

Итак, окончательное решение: \( x \in (9, +\infty) \).