Чтобы доказать свойство средней линии трапеции, давайте рассмотрим саму трапецию ABCD, где AB – верхнее основание, CD – нижнее основание, а AD и BC – боковые стороны. Средняя линия трапеции, обозначим её как MN, соединяет середины боковых сторон AD и BC.
Обозначим середины: Пусть M – середина стороны AD, а N – середина стороны BC. Это значит, что AM = MD и BN = NC.
Параллельность: Чтобы показать, что MN параллельна основаниям AB и CD, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма. В трапеции, соединяя линии, выходящие из точек M и N, мы можем провести линии, которые будут перпендикулярны к основаниям AB и CD. Таким образом, углы AMN и BNC равны, также углы DMN и ANC равны. Это указывает на то, что MN и AB, а также MN и CD являются параллельными, так как они находятся на одной высоте (расстояние от M и N до оснований постоянное).
Доказательство равенства: Теперь давайте докажем, что длина MN равна полусумме оснований AB и CD. По определению, длина средней линии MN равна:
[
MN = \frac{AB + CD}{2}
]
Чтобы это показать, рассмотрим треугольники AMN и CND, которые образуются с боковыми сторонами. Поскольку M и N – середины сторон AD и BC, то:
[
AM = \frac{1}{2}AD \quad \text{и} \quad BN = \frac{1}{2}BC
]
В треугольниках AMN и CND соответствующие стороны пропорциональны. Это также показывает, что отмеченные прямые, соединяющие концы M и N, делят высоты из точек A и B пополам, так как точки M и N являются серединными и располагаются в одной плоскости.
Таким образом, мы можем заключить, что:
[
MN = \frac{AB + CD}{2}
]
Суммируя все вышесказанное, мы получили, что средняя линия трапеции действительно параллельна основаниям и равна их полусумме:
[
MN \parallel AB \quad \text{и} \quad MN = \frac{AB + CD}{2}
]
Это и является доказательством свойства средней линии трапеции.
