4x²+x-3≥0
Чтобы решить неравенство \(4x^2 + x - 3 \geq 0\), необходимо сначала решить соответствующее квадратное уравнение \(4x^2 + x - 3 = 0\).
Найдем дискриминант: Формула для дискриминанта \(D\) в квадратном уравнении \(ax^2 + bx + c = 0\) такова: \[ D = b^2 - 4ac \] Для нашего уравнения \(a = 4\), \(b = 1\), \(c = -3\). Подставим значения: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \]
Найдем корни уравнения: Корни уравнения можно найти по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm 7}{8} \]
Таким образом, у нас есть два решения: \[ x_1 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}, \quad x_2 = \frac{-8}{8} = -1 \]
Определим промежутки: Корни делят числовую ось на три промежутка: \((-∞, -1)\), \((-1, \frac{3}{4})\), \((\frac{3}{4}, +∞)\).
Проверим знак функции на промежутках: Теперь проверим знак выражения \(4x^2 + x - 3\) в каждом из промежутков.
- Для \(x < -1\) (например, \(x = -2\)): \[ 4(-2)^2 + (-2) - 3 = 16 - 2 - 3 = 11 > 0 \]
- Для \(-1 < x < \frac{3}{4}\) (например, \(x = 0\)): \[ 4(0)^2 + (0) - 3 = -3 < 0 \]
- Для \(x > \frac{3}{4}\) (например, \(x = 1\)): \[ 4(1)^2 + (1) - 3 = 4 + 1 - 3 = 2 > 0 \]
Запись решения: Мы видим, что:
- Выражение положительно на интервале \((-∞, -1)\) и \((\frac{3}{4}, +∞)\).
- Оно равно нулю в точках \(x = -1\) и \(x = \frac{3}{4}\).
- Отрицательно на интервале \((-1, \frac{3}{4})\).
Таким образом, неравенство \(4x^2 + x - 3 \geq 0\) выполняется на интервалах: \[ (-∞, -1] \cup [\frac{3}{4}, +∞) \]
Это и будет решением нашего неравенства.
