4x^2-12x+9>0
Чтобы решить неравенство \(4x^2 - 12x + 9 > 0\), сначала мы можем упростить его. Давайте начнем с того, чтобы понять, что представляет собой это квадратное неравенство.
Найдем корни уравнения \(4x^2 - 12x + 9 = 0\) с помощью дискриминанта: Дискриминант \(D\) рассчитывается по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Подставляя значения, получаем: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0 \]
Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один двойной корень.
Находим корень уравнения с помощью формулы: \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]
Теперь исследуем знак функции \(f(x) = 4x^2 - 12x + 9\). Обратите внимание, что это парабола, открытая вверх (поскольку \(a > 0\)) и имеет один двойной корень в \(x = \frac{3}{2}\).
Парабола будет принимать значение больше нуля в интервалах, где она находится выше оси \(x\). Поскольку это точка касания, функция равна нулю только в одной точке \(x = \frac{3}{2}\).
Решение неравенства \(4x^2 - 12x + 9 > 0\) будет выполняться для всех \(x\), кроме \(x = \frac{3}{2}\): \[ x < \frac{3}{2} \quad \text{или} \quad x > \frac{3}{2} \]
Таким образом, ответом на неравенство является: \[ x \in (-\infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty) \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны более подробные объяснения по этому процессу, смело задавайте!
