В треугольнике ABC известно, что AB = 2 см и AC = 4 см. Медиана проведённая из вершины A, равна √3 см. Найдите угол A данного треугольника.

Для нахождения угла A треугольника ABC, где AB = 2 см, AC = 4 см и медиана AM = √3 см (M – середина стороны BC), можно воспользоваться формулой для длины медианы:

\[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \]

где \( m_a \) – длина медианы из вершины A, \( b \) и \( c \) – длины сторон AB и AC соответственно, а \( a \) – длина стороны BC.

В нашем случае A соответствует стороне BC. Подставим известные значения в формулу:

1. \( b = 2 \) см
2. \( c = 4 \) см
3. \( m_a = \sqrt{3} \) см

Пусть \( a = BC \). Подставим всё в формулу и приравняем ее к √3:

\[ \sqrt{3} = \frac{1}{2} \sqrt{2(2^2) + 2(4^2) - a^2} \]

Упростим это уравнение:

\[ \sqrt{3} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 4 + 2 \cdot 16 - a^2} \] \[ \sqrt{3} = \frac{1}{2} \sqrt{8 + 32 - a^2} \] \[ \sqrt{3} = \frac{1}{2} \sqrt{40 - a^2} \]

Теперь умножим обе части на 2:

\[ 2\sqrt{3} = \sqrt{40 - a^2} \]

Возведем обе стороны в квадрат:

\[ (2\sqrt{3})^2 = 40 - a^2 \] \[ 12 = 40 - a^2 \]

Теперь выразим \( a^2 \):

\[ a^2 = 40 - 12 \] \[ a^2 = 28 \] \[ a = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \]

Теперь нам нужно найти угол A. Мы можем воспользоваться косинусом:

\[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]

Подставим значения:

\[ \cos A = \frac{2^2 + 4^2 - (2\sqrt{7})^2}{2 \cdot 2 \cdot 4} \] \[ \cos A = \frac{4 + 16 - 28}{16} \] \[ \cos A = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2} \]

Таким образом, угол A равен \( 120^\circ \), так как косинус угла 120 градусов равен -1/2.

Ответ: угол A равен 120°.