Давайте проанализируем предложенные варианты, чтобы определить, в каком из них оба выделенных слова пишутся слитно.
Тезкин (в)КОНЕЦ покраснел, что бывало с ним всегда в минуту сильного душевного волнения, но Лева истолковал его взгляд (по)СВОЕМУ.
- В данном предложении "вКонец" и "поСвоему" пишутся раздельно.
(В)СКОРЕ он стал автостопом выделывать кренделя по (ЮГО)ЗАПАДНОЙ громадной равнине российского государства.
- "Вскоре" пишется слитно, но "югоЗападной" пишется с прописной буквы и раздельно.
(В)ТАЙНЕ от родителей он снял недорогую квартиру в Филях, чтобы жить (В)БЛИЗИ нарышкинской церкви.
- "Втайне" и "вблизи" пишутся слитно.
Болезнь (МАЛО)ПОМАЛУ начала оставлять его, и только тоска никак не могла уняться и гнала (В)ПЕРЕД.
- "Малопомалу" пишется слитно, но "вперед" — раздельно.
Сверкнул черными глазами и заявил, что никогда на такую подлость не согласится, и директору стоило большого труда добиться того, ЧТО(БЫ) мальчик ВСЕ(ТАКИ) получил золотую медаль.
- "Что бы" пишется раздельно, а "все-таки" — слитно.
Таким образом, единственным предложением, где оба выделенных слова пишутся слитно, является третье: "(В)ТАЙНЕ" и "(В)БЛИЗИ".
Отвечая на ваш запрос по конкретным случаям, можно подвести итог: правильный ответ — третье предложение.