Все ребра правильной пирамиды SABCD равны 4, точки Т и Р середины ребер BS и DS. Найти длину вектора равного сумме векторов ВР+РТ+АВ
Чтобы найти длину вектора, равного сумме векторов \( \vec{ВР} + \vec{РТ} + \vec{АВ} \) для данной пирамиды \( SABCD \), сначала определим координаты всех важных точек.
Координаты вершин пирамиды: Поскольку все рёбра правильной пирамиды равны 4, можно задать следующие координаты:
- \( S(0, 0, 4) \) — вершина пирамиды, находящаяся над основанием.
- \( A(2, 2, 0) \)
- \( B(-2, 2, 0) \)
- \( C(-2, -2, 0) \)
- \( D(2, -2, 0) \)
Находим координаты точек \( T \) и \( R \):
- Точка \( T \) — середина ребра \( BS \): \[ T = \left( \frac{-2 + 0}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{0 + 4}{2} \right) = (-1, 1, 2) \]
- Точка \( R \) — середина ребра \( DS \): \[ R = \left( \frac{2 + 0}{2}, \frac{-2 + 0}{2}, \frac{0 + 4}{2} \right) = (1, -1, 2) \]
Вычисляем векторы \( \vec{ВР}, \vec{РТ}, \vec{АВ} \):
- Вектор \( \vec{ВР} = R - B \): \[ \vec{ВР} = (1, -1, 2) - (-2, 2, 0) = (1 + 2, -1 - 2, 2 - 0) = (3, -3, 2) \]
- Вектор \( \vec{РТ} = T - R \): \[ \vec{РТ} = (-1, 1, 2) - (1, -1, 2) = (-1 - 1, 1 + 1, 2 - 2) = (-2, 2, 0) \]
- Вектор \( \vec{АВ} = B - A \): \[ \vec{АВ} = (-2, 2, 0) - (2, 2, 0) = (-2 - 2, 2 - 2, 0 - 0) = (-4, 0, 0) \]
Суммируем векторы: \[ \vec{Сумма} = \vec{ВР} + \vec{РТ} + \vec{АВ} = (3, -3, 2) + (-2, 2, 0) + (-4, 0, 0) \] \[ = (3 - 2 - 4, -3 + 2 + 0, 2 + 0 + 0) = (-3, -1, 2) \]
Находим длину вектора: Длина вектора \( \vec{Сумма} = (-3, -1, 2) \) вычисляется по формуле: \[ |\vec{Сумма}| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} \]
Таким образом, длина вектора, равного сумме векторов \( \vec{ВР} + \vec{РТ} + \vec{АВ} \), равна \( \sqrt{14} \).
