x(x-4) >= -32

Чтобы решить неравенство \( x(x - 4) \geq -32 \), начнем с приведения его к стандартному виду. Это можно сделать, переместив все члены на одну сторону:

\[ x(x - 4) + 32 \geq 0. \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 - 4x + 32 \geq 0. \]

Теперь у нас есть квадратное неравенство. Чтобы понять, где оно больше или равно нулю, решим соответствующее квадратное уравнение:

\[ x^2 - 4x + 32 = 0. \]

Вычислим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 16 - 128 = -112. \]

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что парабола, заданная функцией \( f(x) = x^2 - 4x + 32 \), не пересекает ось X и, следовательно, всегда положительна.

Так как коэффициент при \( x^2 \) положительный (1), это значит, что функция \( f(x) > 0 \) для всех \( x \).

Таким образом, неравенство:

\[ x(x - 4) + 32 \geq 0 \]

выполняется для всех \( x \). Ответ:

\[ \text{Решение: } x \in \mathbb{R}. \]

Это означает, что любые действительные числа удовлетворяют исходному неравенству.