Доказать что: ^3√(9+√80) +^3√(9-√80) =3

Давайте докажем, что \(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}} + \sqrt[3]{9-\sqrt{80}} = 3\).

Обозначим: \[ a = \sqrt[3]{9+\sqrt{80}} \] \[ b = \sqrt[3]{9-\sqrt{80}} \]

Тогда нам нужно показать, что \( a + b = 3 \).

Для этого сначала вычислим \( a^3 + b^3 \): \[ a^3 + b^3 = (9 + \sqrt{80}) + (9 - \sqrt{80}) = 18 \]

Теперь используем формулу для суммы кубов: \[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \] Теперь нам известна сумма \( a^3 + b^3 \) и нам нужно выразить \( ab \). Умножим \( a \) и \( b \): \[ ab = \sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})} = \sqrt[3]{9^2 - (\sqrt{80})^2} = \sqrt[3]{81 - 80} = \sqrt[3]{1} = 1 \]

Теперь можем выразить \( a^2 - ab + b^2 \): \[ a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab \quad \Rightarrow \quad a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2 \]

Таким образом, имеем: \[ a^3 + b^3 = (a+b)((a+b)^2 - 3) \]

Теперь подставим все известные значения: \[ 18 = (a+b)((a+b)^2 - 3) \] Пусть \( x = a + b \). Тогда у нас есть: \[ 18 = x(x^2 - 3) \] Преобразуем это уравнение: \[ x^3 - 3x - 18 = 0 \]

Теперь подставим \( x = 3 \): \[ 3^3 - 3 \cdot 3 - 18 = 27 - 9 - 18 = 0 \]

Очевидно, что это уравнение верно, и значит, \( x = 3 \).

Таким образом, мы доказали, что: \[ \sqrt[3]{9+\sqrt{80}} + \sqrt[3]{9-\sqrt{80}} = 3 \]