3 arccos √3/2+ arcctg (-1)+arcsin√3/2-19π/12
Чтобы решить выражение \( 3 \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \text{arcctg}(-1) + \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \frac{19\pi}{12} \), давайте по отдельности найдем каждое из значений.
Находим \( \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \): Значение \( \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \) соответствует углу \( \frac{\pi}{6} \) (или 30 градусов), поскольку косинус этого угла равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Таким образом: \[ 3 \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}. \]
Находим \( \text{arcctg}(-1) \): Значение \( \text{arcctg}(-1) \) соответствует углу \( \frac{3\pi}{4} \) (или 135 градусов), так как котангенс этого угла равен -1.
Находим \( \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \): Значение \( \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \) соответствует углу \( \frac{\pi}{3} \) (или 60 градусов), поскольку синус этого угла равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Теперь можем подставить найденные значения в исходное выражение:
\[ \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{3} - \frac{19\pi}{12}. \]
Теперь упростим это выражение. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для \( 2, 4, 3 \) и \( 12 \) — это \( 12 \).
- Приводим значения к знаменателю \( 12 \): \[ \frac{\pi}{2} = \frac{6\pi}{12}, \] \[ \frac{3\pi}{4} = \frac{9\pi}{12}, \] \[ \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{12}. \]
Теперь подставляем: \[ \frac{6\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} - \frac{19\pi}{12} = \frac{6\pi + 9\pi + 4\pi - 19\pi}{12} = \frac{0}{12} = 0. \]
Итак, итоговое значение выражения: \[ 0. \]
