Задачу реши

Привет! Давай разберем задачи по порядку.

Задача 1: Найдите общий вид первообразной y для заданной функции:

Первое выражение: \( y' = 1 - sin(x) \)

Чтобы найти первообразную, нужно проинтегрировать данное уравнение. \[ y = \int (1 - \sin(x)) \, dx \]

Итак, интегрируем: \[ y = x + \cos(x) + C \] где \( C \) - константа интегрирования.

Задача 2: Найдите общий вид первообразной y для заданной функции:

Второе выражение: \( y' = \cos(x) + e^x \)

Проинтегрируем это выражение: \[ y = \int (\cos(x) + e^x) \, dx \]

Делаем интегрирование: \[ y = \sin(x) + e^x + C \]

где \( C \) - константа интегрирования.

Задача 3: Найдите общий вид первообразной y для заданной функции:

Третье выражение: \( y'' + y = 0 \)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение имеет вид: \[ y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \]

где \( C_1 \) и \( C_2 \) - константы интегрирования.

Задача 4: Найдите общий вид первообразной y для заданной функции:

Четвёртое выражение: \( y' = \frac{3}{e^x + x} \)

Здесь интегрирование не столь прямо, как в предыдущих примерах. Она требует применения специальных методов или трансформаций.

Задача 5: Определение функции через указанную точку.

Для функции дано \( y = f(x) \), которая проходит через точку \( M(x_0, y_0) \).

Для нахождения какого-либо выражения, необходимы конкретные ввода для \( f(x) \) и точки \( M \).

Задача 6: Найти неопределённый интеграл.

Интеграл \( \int x e^{x^2} \, dx \).

Применим замену переменной, пусть \( u = x^2 \). Тогда \( du = 2x \, dx \), или \( 1/2 \, du = x \, dx \).

Интеграл перепишется как: \[ \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^u + C \]

Подставляем обратно: \[ = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \]

Если нужны дополнительные разъяснения или помощь с остальными задачами, просто дай знать!