Исследовать функцию z=f(x,y) на экстремум. z=-x^2-y^2+4x-4y

Для исследования функции \( z = f(x,y) = -x^2 - y^2 + 4x - 4y \) на экстремум необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите частные производные.

Сначала вычислим частные производные функции по переменным \( x \) и \( y \):

• Частная производная по \( x \): \[ f_x = \frac{\partial z}{\partial x} = -2x + 4 \]

• Частная производная по \( y \): \[ f_y = \frac{\partial z}{\partial y} = -2y - 4 \]

2. Найдите критические точки.

Чтобы найти критические точки, приравняем частичные производные к нулю:

1. \( -2x + 4 = 0 \)
   \( 2x = 4 \)
   \( x = 2 \)

2. \( -2y - 4 = 0 \)
   \( -2y = 4 \)
   \( y = -2 \)

Таким образом, мы нашли критическую точку: \( (2, -2) \).

3. Исследование второй производной.

Теперь вычислим вторые частные производные:

• Вторая производная по \( x \): \[ f_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -2 \]

• Вторая производная по \( y \): \[ f_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -2 \]

• Смешанная производная: \[ f_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0 \]

4. Определитель Гессе.

Теперь можно найти определитель Гессе \( D \): \[ D = f_{xx} \cdot f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-2)(-2) - (0)^2 = 4 \]

5. Анализ критической точки.

По критериям второго порядка:

• Если \( D > 0 \) и \( f_{xx} < 0 \), то в точке максимум.
• Если \( D > 0 \) и \( f_{xx} > 0 \), то в точке минимум.
• Если \( D < 0 \), то точка является седловой.

В нашем случае:

• \( D = 4 > 0 \)
• \( f_{xx} = -2 < 0 \)

Это говорит о том, что в точке \( (2, -2) \) у нас находится максимум.

6. Определение значения функции в критической точке.

Теперь давайте определим значение функции в критической точке: \[ z(2, -2) = -2^2 - (-2)^2 + 4 \cdot 2 - 4 \cdot (-2) = -4 - 4 + 8 + 8 = 8 \]

Итоги:

Функция \( z = -x^2 - y^2 + 4x - 4y \) имеет максимальное значение 8 в точке \( (2, -2) \).