3х-15/х2+5х-14≥0
Давайте решим неравенство \( \frac{3x - 15}{x^2 + 5x - 14} \geq 0 \).
Найдём корни числителя. Числитель \( 3x - 15 = 0 \) можно решить так:
\[ 3x = 15 \implies x = 5 \]
Таким образом, корень числителя — это \( x = 5 \).
Теперь найдем корни знаменателя. Знаменатель \( x^2 + 5x - 14 = 0 \) можно решить с помощью дискриминанта:
Дискриминант \( D \) равен:
\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \]
Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 9}{2} = 2, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 9}{2} = -7. \]
Корни знаменателя — это \( x = 2 \) и \( x = -7 \).
Определим знаки. Теперь мы знаем точки, которые могут изменять знак: \( -7, 2, 5 \). Разделим числовую прямую на интервалы:
- \( (-\infty, -7) \)
- \( (-7, 2) \)
- \( (2, 5) \)
- \( (5, +\infty) \)
Тестирование знаков в интервалах.
Для \( x < -7 \) (например, \( x = -8 \)): \[ \frac{3(-8) - 15}{(-8)^2 + 5(-8) - 14} = \frac{-24 - 15}{64 - 40 - 14} = \frac{-39}{10} < 0 \]
Для \( -7 < x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \[ \frac{3(0) - 15}{0^2 + 5(0) - 14} = \frac{-15}{-14} > 0 \]
Для \( 2 < x < 5 \) (например, \( x = 3 \)): \[ \frac{3(3) - 15}{3^2 + 5(3) - 14} = \frac{9 - 15}{9 + 15 - 14} = \frac{-6}{10} < 0 \]
Для \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \[ \frac{3(6) - 15}{6^2 + 5(6) - 14} = \frac{18 - 15}{36 + 30 - 14} = \frac{3}{52} > 0 \]
Соберем все интервалы, где неравенство выполняется. У нас положительные значения на интервалах \( (-7, 2) \) и \( (5, +\infty) \).
Не забудьте учесть нули. Числитель равен нулю при \( x = 5 \), и это значение включается в решение. Знаменатель равен нулю при \( x = -7 \) и \( x = 2 \), и эти значения не включаются в решение, так как неравенство неопределенно.
Таким образом, окончательное решение неравенства:
\[ -7 < x < 2 \quad \text{или} \quad x = 5 \quad \text{или} \quad x > 5. \]
В более компактной форме это можно записать как:
\[ (-7, 2) \cup [5, +\infty). \]
