F(x) =1+x/2, M(1; 3)

Привет! Давай разберемся с задачей.

Нам нужно найти первообразную функции \( f(x) = 1 + \frac{x}{2} \), которая проходит через точку \( M(1; 3) \).

1. Найдём неопределённый интеграл от функции \( f(x) \): \[ \int f(x)\, dx = \int \left(1 + \frac{x}{2}\right)\, dx. \]

2. Разделим интеграл на две части и возьмем интегралы от каждого слагаемого по отдельности: \[ \int 1\, dx + \int \frac{x}{2}\, dx. \]

3. Интеграл от 1: \[ \int 1\, dx = x. \]

4. Интеграл от \( \frac{x}{2} \): \[ \int \frac{x}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int x\, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}. \]

5. Складываем полученные интегралы и не забываем про константу \( C \): \[ \int \left(1 + \frac{x}{2}\right)\, dx = x + \frac{x^2}{4} + C. \]

6. Нам известно, что функция проходит через точку \( M(1; 3) \), поэтому подставим \( x = 1 \) и \( y = 3 \) для нахождения \( C \): \[ 3 = 1 + \frac{1^2}{4} + C. \]

7. Решим уравнение для \( C \): \[ 3 = 1 + \frac{1}{4} + C \quad \Rightarrow \quad 3 = 1.25 + C \quad \Rightarrow \quad C = 3 - 1.25 \quad \Rightarrow \quad C = 1.75. \]

8. Таким образом, первообразная функции, проходящая через точку \( M(1; 3) \), имеет вид: \[ F(x) = x + \frac{x^2}{4} + 1.75. \]

Вот и все! Если есть еще вопросы, не стесняйся спрашивать.