Задача 5. В сельской школе два класса. В первом полугодии успеваемость по классу составляла 90% и 50%, а в целом по школе – 70%. Во втором полугодии из первого класса 10 человек перешли в другую школу. Каждый класс повысил успеваемость на 1%, а в целом по школе успеваемость упала на 3%. Сколько учащихся стало в школе?
Для решения данной задачи давайте введем некоторые обозначения и разобьем ее на части.
Обозначим:
- \( N_1 \) – количество учащихся в первом классе,
- \( N_2 \) – количество учащихся во втором классе.
1. Успеваемость в первом полугодии:
- Успеваемость первого класса: 90%,
- Успеваемость второго класса: 50%.
Общая успеваемость по школе составила 70%, что можно записать как:
\[ \frac{0.9N_1 + 0.5N_2}{N_1 + N_2} = 0.7 \]
Умножим обе стороны на \( N_1 + N_2 \):
\[ 0.9N_1 + 0.5N_2 = 0.7(N_1 + N_2) \implies 0.9N_1 + 0.5N_2 = 0.7N_1 + 0.7N_2 \]
Упрощаем уравнение:
\[ 0.9N_1 - 0.7N_1 + 0.5N_2 - 0.7N_2 = 0 \implies 0.2N_1 - 0.2N_2 = 0 \implies N_1 = N_2 \]
Таким образом, количество учащихся в каждом классе равно. Обозначим \( N_1 = N_2 = N \).
2. Подставим \( N \) в уравнение общей успеваемости:
\[ \frac{0.9N + 0.5N}{2N} = 0.7 \]
Это уравнение верно, так как \( 0.7 = 0.7 \). Мы подтвердили, что \( N_1 = N_2 = N \).
3. Во втором полугодии:
Из первого класса ушло 10 человек:
- Оставшееся количество учащихся в первом классе: \( N - 10 \).
- Успеваемость каждого класса повысилась на 1%:
- Успеваемость первого класса: 91% (или 0.91),
- Успеваемость второго класса: 51% (или 0.51).
Общая успеваемость по школе упала на 3%, стала 67%:
\[ \frac{0.91(N - 10) + 0.51N}{(N - 10) + N} = 0.67 \]
Упрощаем:
\[ \frac{0.91N - 9.1 + 0.51N}{2N - 10} = 0.67 \]
Умножаем обе стороны на \( 2N - 10 \):
\[ 0.91N - 9.1 + 0.51N = 0.67(2N - 10) \]
Раскрываем скобки:
\[ 0.91N - 9.1 + 0.51N = 1.34N - 6.7 \]
Соберем подобные члены:
\[ 1.42N - 9.1 = 1.34N - 6.7 \]
Теперь решим уравнение:
\[ 1.42N - 1.34N = 9.1 - 6.7 \implies 0.08N = 2.4 \implies N = \frac{2.4}{0.08} = 30 \]
4. Общее количество учащихся в школе:
Итак, количество учащихся в каждом классе составляет 30, а значит, общее количество учащихся в школе:
\[ N_1 + N_2 = 30 + 30 = 60 \]
Таким образом, в школе стало 60 учащихся.
