(2/3 x+7)^3 найдите производную

Для нахождения производной функции \( f(x) = \left(\frac{2}{3}x + 7\right)^3 \) будем использовать правило дифференцирования сложной функции (правило Лейбница).

1. Обозначим внутреннюю функцию: \( u = \frac{2}{3}x + 7 \).

   Тогда \( f(x) = u^3 \).

2. Теперь найдем производные \( u \) и \( f \) относительно \( x \):

   • Производная \( u \): \[ u' = \frac{2}{3} \]
   • Производная \( f \): \[ f'(u) = 3u^2 \]

3. Теперь применим правило цепочки: \[ f'(x) = f'(u) \cdot u' = 3u^2 \cdot u' \]

4. Подставляем значения, чтобы выразить через \( x \): \[ f'(x) = 3\left(\frac{2}{3}x + 7\right)^2 \cdot \frac{2}{3} \]

5. Упростим результат: \[ f'(x) = 2 \left(\frac{2}{3}x + 7\right)^2 \]

Таким образом, производная функции \( f(x) = \left(\frac{2}{3}x + 7\right)^3 \) равна: \[ f'(x) = 2\left(\frac{2}{3}x + 7\right)^2 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по теме или по другим аспектам математического анализа, не стесняйтесь спрашивать!