x^2-5x-36<0
Чтобы решить неравенство \( x^2 - 5x - 36 < 0 \), сначала найдем корни соответствующего уравнения \( x^2 - 5x - 36 = 0 \) с помощью формулы решения квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -5 \), и \( c = -36 \). Подставляем значения в формулу:
\[ b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 \]
Теперь подставим это значение в формулу корней:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 13}{2} \]
Это даёт два корня:
\[ x_1 = \frac{18}{2} = 9 \] \[ x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \]
Теперь у нас есть два корня: \( x_1 = 9 \) и \( x_2 = -4 \). Следующий шаг - определить знак выражения \( x^2 - 5x - 36 \) между и за пределами этих корней.
Мы можем разбить числовую ось на интервалы, учитывая корни: \((-∞, -4)\), \((-4, 9)\), и \((9, ∞)\).
Для интервала \((-∞, -4)\): Используем точку \( x = -5 \): \[ (-5)^2 - 5(-5) - 36 = 25 + 25 - 36 = 14 \quad (положительное) \]
Для интервала \((-4, 9)\): Используем точку \( x = 0 \): \[ 0^2 - 5(0) - 36 = -36 \quad (отрицательное) \]
Для интервала \((9, ∞)\): Используем точку \( x = 10 \): \[ 10^2 - 5 \cdot 10 - 36 = 100 - 50 - 36 = 14 \quad (положительное) \]
Таким образом, функция \( x^2 - 5x - 36 < 0 \) имеет место в интервале \((-4, 9)\).
Итак, итоговое решение неравенства:
\[ x \in (-4, 9) \]
Это значит, что любое значение \( x \) в этом интервале удовлетворяет исходному неравенству.
