расстояние от посёлка до турбазы 24 км по реке. В 10:00 моторная лодка вышла на турбазу и в 17:00 этого же дня вернулась обратно. какова собственная скорость лодки если скорость…

Для решения этой задачи нам нужно определить собственную скорость лодки \( v \) и использовать известные параметры: расстояние до турбазы 24 км, скорость течения реки 3 км/ч, а также время, за которое лодка совершила путешествие.

Лодка движется туда и обратно, и в пути она сталкивается с течением реки, что влияет на её скорость.

1. Время в пути. Лодка отправилась в 10:00 и вернулась в 17:00, т.е. общее время путешествия составило 7 часов. Из этого времени 1 час была стоянка на турбазе, следовательно, время в пути составило: \[ 7 \text{ часов} - 1 \text{ час} = 6 \text{ часов}. \]

2. Скорость лодки. Путешествие состоит из двух частей: в пути к турбазе и обратно.

   • На пути к турбазе лодка движется по течению, следовательно, её скорость увеличивается на скорость течения: \( v + 3 \) км/ч.
   • На пути обратно лодка движется против течения, следовательно, её скорость уменьшается на скорость течения: \( v - 3 \) км/ч.

3. Время в пути. Для определения собственного времени в пути, воспользуемся формулой: время = расстояние / скорость.

   Время в пути к турбазе: \[ t_1 = \frac{24}{v + 3}. \] Время в пути обратно: \[ t_2 = \frac{24}{v - 3}. \]

   Суммарное время в пути: \[ t_1 + t_2 = 6. \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{24}{v + 3} + \frac{24}{v - 3} = 6. \]

4. Решим уравнение. Умножим обе части на \( (v + 3)(v - 3) \): \[ 24(v - 3) + 24(v + 3) = 6(v^2 - 9). \] Упростим: \[ 24v - 72 + 24v + 72 = 6v^2 - 54. \] Объединим подобные члены: \[ 48v = 6v^2 - 54. \] Переносим все в одну сторону: \[ 6v^2 - 48v - 54 = 0. \] Упростим, разделив на 6: \[ v^2 - 8v - 9 = 0. \]

5. Найдем корни уравнения. Используем дискриминант: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100. \] Находим \( v \): \[ v = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}. \] Два возможных значения: \[ v_1 = \frac{18}{2} = 9, \quad v_2 = \frac{-2}{2} = -1. \] Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем \( v = 9 \) км/ч.

Таким образом, собственная скорость лодки составляет 9 км/ч.