решить x²-2x-24=0 по теореме виета
Чтобы решить уравнение \( x^2 - 2x - 24 = 0 \) с использованием теоремы Виета, сначала вспомним, что теорема Виета утверждает: для квадратного уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) суммы корней \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) и произведения корней \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).
В нашем уравнении:
- \( a = 1 \)
- \( b = -2 \)
- \( c = -24 \)
По теореме Виета мы можем найти:
Сумму корней: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2 \]
Произведение корней: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-24}{1} = -24 \]
Теперь нам нужно найти два числа, сумма которых равна 2, а произведение равно -24.
Давайте обозначим корни как \( x_1 \) и \( x_2 \). Мы можем составить систему уравнений на основании найденных значений:
\[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -24 \]
Теперь попробуем выразить \( x_2 \) через \( x_1 \):
\[ x_2 = 2 - x_1 \]
Подставим это значение в уравнение для произведения:
\[ x_1 \cdot (2 - x_1) = -24 \]
Раскроем скобки:
\[ 2x_1 - x_1^2 = -24 \]
Переносим всё в одну сторону:
\[ x_1^2 - 2x_1 - 24 = 0 \]
Это уравнение совпадает с исходным, которое мы уже знаем. Теперь мы можем попробовать найти его корни, используя другие методы, например, методом замены или через коэффициенты.
Находим корни уравнения с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 \]
Теперь находим корни:
\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 10}{2} \]
Это даёт два решения:
\[ x_1 = \frac{12}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \]
Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = 6 \) и \( x_2 = -4 \).
Вы можете проверить, что их сумма \( 6 + (-4) = 2 \) и произведение \( 6 \cdot (-4) = -24 \) соответствует условиям теоремы Виета.
