2x^2-9x+4<0
Давайте рассмотрим неравенство \(2x^2 - 9x + 4 < 0\). Чтобы решить его, начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения \(2x^2 - 9x + 4 = 0\).
Находим дискриминант: Формула для дискриминанта \(D\) выглядит так: \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь \(a = 2\), \(b = -9\), \(c = 4\). Подставим эти значения: \[ D = (-9)^2 - 4 \times 2 \times 4 = 81 - 32 = 49 \]
Находим корни: Корни уравнения можно найти по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляя значения: \[ x_1 = \frac{9 + \sqrt{49}}{4} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4 \] \[ x_2 = \frac{9 - \sqrt{49}}{4} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Теперь у нас есть корни \(x_1 = 4\) и \(x_2 = \frac{1}{2}\).
Анализируем знаки многочлена: Теперь проанализируем интервал между корнями и за их пределами:
- Выберем точку \(x = 0\) в интервале \(\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)\): \[ 2(0)^2 - 9(0) + 4 = 4 > 0 \]
- Выберем точку \(x = 1\) в интервале \(\left(\frac{1}{2}, 4\right)\): \[ 2(1)^2 - 9(1) + 4 = 2 - 9 + 4 = -3 < 0 \]
- Выберем точку \(x = 5\) в интервале \(\left(4, +\infty\right)\): \[ 2(5)^2 - 9(5) + 4 = 50 - 45 + 4 = 9 > 0 \]
Итог: Мы видим, что многочлен \(2x^2 - 9x + 4\) меньше нуля в интервале: \[ \left(\frac{1}{2}, 4\right) \]
Таким образом, решение неравенства \(2x^2 - 9x + 4 < 0\) будет: \[ x \in \left(\frac{1}{2}, 4\right) \]
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!
