36^х-4*6^х-12=0
Давайте решим уравнение \( 36^x - 4 \cdot 6^x - 12 = 0 \).
Сначала заметим, что \( 36 \) можно выразить как \( 6^2 \). Таким образом, уравнение можно переписать в следующем виде:
\[ (6^2)^x - 4 \cdot 6^x - 12 = 0. \]
Это уравнение можно упростить:
\[ 6^{2x} - 4 \cdot 6^x - 12 = 0. \]
Теперь, чтобы сделать уравнение более удобным для решения, введем замену \( y = 6^x \). Тогда \( 6^{2x} = y^2 \), и уравнение преобразуется в:
\[ y^2 - 4y - 12 = 0. \]
Теперь мы имеем стандартное квадратное уравнение \( ay^2 + by + c = 0 \), где \( a = 1 \), \( b = -4 \), и \( c = -12 \).
Для решения квадратного уравнения используем формулу:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]
Подставляем значения \( a \), \( b \) и \( c \):
\[ y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}. \]
Упрощаем подкоренное выражение:
\[ y = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2}. \]
Теперь решаем два случая:
- \( y = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).
- \( y = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \) (это значение нельзя принимать, так как \( y = 6^x \) всегда положительно).
Теперь мы имеем одно решение:
\[ y = 6. \]
Возвращаемся к нашей замене \( y = 6^x \), и получаем:
\[ 6^x = 6. \]
Это значит, что:
\[ x = 1. \]
Таким образом, решение уравнения:
\[ \boxed{1}. \]
