(a-b) (a+5b) ≤ (2a+b) (a+4b) +ab

Решим неравенство:

\((a - b)(a + 5b) \leq (2a + b)(a + 4b) + ab\).

1. Начнем с раскрытия скобок с левой и правой стороны.

Левая сторона:

\((a - b)(a + 5b) = a^2 + 5ab - ab - 5b^2 = a^2 + 4ab - 5b^2\).

Правая сторона:

\((2a + b)(a + 4b) + ab = (2a^2 + 8ab + ab + 4b^2) + ab = 2a^2 + 10ab + 4b^2\).

2. Теперь заменим обе стороны неравенства:

\(a^2 + 4ab - 5b^2 \leq 2a^2 + 10ab + 4b^2\).

3. Переносим все на одну сторону:

\(a^2 + 4ab - 5b^2 - 2a^2 - 10ab - 4b^2 \leq 0\).

Это упрощается до:

\(-a^2 - 6ab - 9b^2 \leq 0\).

4. Умножим обе стороны неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится:

\(a^2 + 6ab + 9b^2 \geq 0\).

5. Обратите внимание, что \(a^2 + 6ab + 9b^2\) является полным квадратом:

\((a + 3b)^2 \geq 0\).

Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, неравенство выполняется для всех значений \(a\) и \(b\).

Таким образом, исходное неравенство \((a - b)(a + 5b) \leq (2a + b)(a + 4b) + ab\) всегда верно для любых \(a\) и \(b\).