(x+7) (x-1) (x+8) <0

Чтобы решить неравенство \((x+7)(x-1)(x+8) < 0\), начнём с нахождения корней, при которых произведение равно нулю.

1. Находим корни:
   • \(x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7\)
   • \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
   • \(x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8\)

Таким образом, корни неравенства: \(x = -8\), \(x = -7\), и \(x = 1\).

2. Теперь отмечаем эти корни на числовой оси и разбиваем ось на интервалы:

   • \((-∞, -8)\)
   • \((-8, -7)\)
   • \((-7, 1)\)
   • \((1, +∞)\)

3. Нужно определить знак произведения \((x+7)(x-1)(x+8)\) в каждом из интервалов. Для этого выберем тестовые точки в каждом интервале.

   • Для интервала \((-∞, -8)\), например, \(x = -9\): \[ (-9 + 7)(-9 - 1)(-9 + 8) = (-2)(-10)(-1) = -20 \quad (\text{отрицательное}) \]

   • Для интервала \((-8, -7)\), например, \(x = -7.5\): \[ (-7.5 + 7)(-7.5 - 1)(-7.5 + 8) = (-0.5)(-8.5)(0.5) = 2.125 \quad (\text{положительное}) \]

   • Для интервала \((-7, 1)\), например, \(x = 0\): \[ (0 + 7)(0 - 1)(0 + 8) = (7)(-1)(8) = -56 \quad (\text{отрицательное}) \]

   • Для интервала \((1, +∞)\), например, \(x = 2\): \[ (2 + 7)(2 - 1)(2 + 8) = (9)(1)(10) = 90 \quad (\text{положительное}) \]

4. Теперь можем составить таблицу знаков:

   • \((-∞, -8)\): отрицательное
   • \((-8, -7)\): положительное
   • \((-7, 1)\): отрицательное
   • \((1, +∞)\): положительное

5. Теперь определим, где произведение отрицательно. Это происходит в интервалах \((-∞, -8)\) и \((-7, 1)\).

6. Поскольку нас интересует \((x+7)(x-1)(x+8) < 0\), то решениями неравенства будут:

   • \(x \in (-∞, -8)\) и \(x \in (-7, 1)\).

Таким образом, ответ на неравенство \((x+7)(x-1)(x+8) < 0\): \[ x \in (-∞, -8) \cup (-7, 1) \]