Дана логическая функция: f(x,y,z)=(xDy)Azf(x,y,z)=(x@y)Az. a) Постройте таблицу истинности для данной функции. б) Представьте функцию в виде СДНФ. в) Представьте функцию в виде СКНФ.
Для решения вашей задачи, давайте последовательно разберёмся с логической функцией \( f(x, y, z) = (x \oplus y) \land \neg z \), где \( \oplus \) обозначает логическое исключающее ИЛИ (XOR), \( \land \) - логическое И, а \( \neg \) - логическое НЕ.
а) Таблица истинности
Для построения таблицы истинности начнём с определения всех возможных комбинаций значений переменных \( x, y, z \). Поскольку у нас три переменные, у нас будет \( 2^3 = 8 \) строк в таблице.
| x | y | z | x ⊕ y | ¬z | f(x, y, z) = (x ⊕ y) ∧ ¬z |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Таким образом, таблица истинности для функции \( f(x, y, z) \) выглядит следующим образом.
б) СДНФ (Сумма Дизъюнктов Нормальной Формы)
Теперь представим функцию в виде СДНФ. СДНФ составляется на основе тех строк таблицы истинности, где функция равна 1.
Из нашей таблицы истинности мы видим, что \( f(x, y, z) = 1 \) в следующих случаях:
- \( x = 0, y = 1, z = 0 \) → \( \neg x \land y \land \neg z \)
- \( x = 1, y = 0, z = 0 \) → \( x \land \neg y \land \neg z \)
Итак, СДНФ будет:
\[ f(x, y, z) = (\neg x \land y \land \neg z) \lor (x \land \neg y \land \neg z) \]
в) СКНФ (Произведение Сумм Нормальной Формы)
Теперь представим функцию в виде СКНФ, которая составляется на основе тех строк таблицы истинности, где функция равна 0.
Из таблицы видно, что функция равна 0 для следующих случаев:
- \( x = 0, y = 0, z = 0 \) → \( x \lor y \lor z \)
- \( x = 0, y = 0, z = 1 \) → \( x \lor y \lor \neg z \)
- \( x = 0, y = 1, z = 1 \) → \( x \lor \neg y \lor \neg z \)
- \( x = 1, y = 0, z = 1 \) → \( \neg x \lor y \lor \neg z \)
- \( x = 1, y = 1, z = 0 \) → \( \neg x \lor \neg y \lor z \)
- \( x = 1, y = 1, z = 1 \) → \( \neg x \lor \neg y \lor \neg z \)
Итак, СКНФ будет:
\[ f(x, y, z) = (x \lor y \lor z) \land (x \lor y \lor \neg z) \land (x \lor \neg y \lor \neg z) \land (\neg x \lor y \lor \neg z) \land (\neg x \lor \neg y \lor z) \land (\neg x \lor \neg y \lor \neg z) \]
Теперь у вас есть и таблица истинности, и представления в СДНФ и СКНФ. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!
