-х²+2х+15<0
Чтобы решить неравенство \(-x^2 + 2x + 15 < 0\), начнем с преобразования его в более удобную форму. Мы можем умножить всё неравенство на -1, но при этом следует изменить знак неравенства на противоположный:
\[ x^2 - 2x - 15 > 0 \]
Теперь можем решить соответствующее квадратное уравнение \(x^2 - 2x - 15 = 0\) с помощью формулы корней уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -15\).
Посчитаем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \]
Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня:
\[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3 \]
Теперь у нас есть корни \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -3\). Следующим шагом будет исследование знака функции \(x^2 - 2x - 15\) на интервалах, которые определяются корнями:
- \((-∞, -3)\)
- \((-3, 5)\)
- \((5, ∞)\)
Для этого подберем тестовые точки из каждого интервала:
Для интервала \((-∞, -3)\) возьмем \(x = -4\): \((-4)^2 - 2(-4) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9\) (положительно)
Для интервала \((-3, 5)\) возьмем \(x = 0\): \(0^2 - 2(0) - 15 = -15\) (отрицательно)
Для интервала \((5, ∞)\) возьмем \(x = 6\): \(6^2 - 2(6) - 15 = 36 - 12 - 15 = 9\) (положительно)
Теперь можно указать, где неравенство выполняется. Мы ищем, когда \(x^2 - 2x - 15 > 0\):
Неравенство выполняется на интервалах:
\((-∞, -3)\) и \((5, ∞)\).
Таким образом, решение неравенства \(-x^2 + 2x + 15 < 0\) можно записать в виде:
\[ x \in (-3, 5) \]
