2x+3/3x+2<=2

Чтобы решить неравенство \( \frac{2x + 3}{3x + 2} \leq 2 \), давайте рассмотрим шаги по упрощению и решению:

1. Переносим все члены в одну сторону. Начнем с того, чтобы привести неравенство к общему виду: \[ \frac{2x + 3}{3x + 2} - 2 \leq 0 \]

2. Приводим дробь к общему знаменателю. Нам нужно привести 2 к дроби с тем же знаменателем \( 3x + 2 \): \[ \frac{2x + 3 - 2(3x + 2)}{3x + 2} \leq 0 \]

3. Упрощаем числитель: \[ 2x + 3 - (6x + 4) = 2x + 3 - 6x - 4 = -4x - 1 \] Мы получаем: \[ \frac{-4x - 1}{3x + 2} \leq 0 \]

4. Анализируем дробь. Мы можем решить неравенство \( \frac{-4x - 1}{3x + 2} \leq 0 \), определяя, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки.

   • Числитель: \( -4x - 1 \leq 0 \) \[ -4x \leq 1 \implies x \geq -\frac{1}{4} \]

   • Знаменатель: \( 3x + 2 > 0 \) \[ 3x > -2 \implies x > -\frac{2}{3} \]

5. Определяем знаки. Теперь знаем, что:

   • Числитель \( -4x - 1 \) изменяет знак при \( x = -\frac{1}{4} \) (он становится положительным после этого значения).
   • Знаменатель \( 3x + 2 \) изменяет знак при \( x = -\frac{2}{3} \).

Теперь соединим эти интервалы. Находим, что дробь равна или меньше нуля в следующих пределах:

• Для \( x < -\frac{2}{3} \): дробь положительна.
• Для \( -\frac{2}{3} < x < -\frac{1}{4} \): дробь отрицательна.
• Для \( x > -\frac{1}{4} \): дробь положительна.

6. Окончательный ответ. Таким образом, решением данного неравенства будет интервал: \[ -\frac{2}{3} < x \leq -\frac{1}{4} \]

Итак, окончательный ответ: \[ x \in \left(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{4}\right] \]

Если вам нужны дополнительные разъяснения или примеры, не стесняйтесь спрашивать!