Докажите что ABCD - прямоугольник, если A(-3;2;2), B(-1;-8;13), C(-15;-13;11), D(-17;-3;0)

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, необходимо показать, что его диагонали пересекаются под прямым углом, или что любые две соседние стороны перпендикулярны. Для этого нужно вычислить векторы сторон и их скалярное произведение.

1. Вычислим векторы сторон:

   • Вектор AB: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - (-3), -8 - 2, 13 - 2) = (2, -10, 11) \]
   • Вектор BC: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-15 - (-1), -13 - (-8), 11 - 13) = (-14, -5, -2) \]
   • Вектор CD: \[ \overrightarrow{CD} = D - C = (-17 - (-15), -3 - (-13), 0 - 11) = (-2, 10, -11) \]
   • Вектор DA: \[ \overrightarrow{DA} = A - D = (-3 - (-17), 2 - (-3), 2 - 0) = (14, 5, 2) \]

2. Теперь проверим, перпендикулярны ли соседние стороны, вычислив скалярные произведения векторов:

   • Скалярное произведение \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (2 \cdot -14) + (-10 \cdot -5) + (11 \cdot -2) = -28 + 50 - 22 = 0 \]
   • Скалярное произведение \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CD}\): \[ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = (-14 \cdot -2) + (-5 \cdot 10) + (-2 \cdot -11) = 28 - 50 + 22 = 0 \]
   • Скалярное произведение \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{DA}\): \[ \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = (-2 \cdot 14) + (10 \cdot 5) + (-11 \cdot 2) = -28 + 50 - 22 = 0 \]
   • Скалярное произведение \(\overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = (14 \cdot 2) + (5 \cdot -10) + (2 \cdot 11) = 28 - 50 + 22 = 0 \]

Так как все скалярные произведения равны нулю, это доказывает, что все соседние стороны перпендикулярны друг другу. Следовательно, четырехугольник ABCD является прямоугольником.