Решите задачу: Величины углов выпуклого шестиугольника пропорциональны числам 1; 2; 3; 4; 4; 4. Найдите величину меньшего из углов этого шестиугольника

Сначала найдем сумму углов выпуклого шестиугольника. Сумма углов \( S \) выпуклого многоугольника с \( n \) сторонами вычисляется по формуле:

\[ S = (n - 2) \times 180^\circ \]

Для шестиугольника (\( n = 6 \)):

\[ S = (6 - 2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ \]

Теперь обозначим углы шестиугольника через коэффициенты \( k \) (где \( k \) – некое общее число) по данным пропорциям. Углы будут равны:

• первый угол: \( a_1 = k \cdot 1 \)
• второй угол: \( a_2 = k \cdot 2 \)
• третий угол: \( a_3 = k \cdot 3 \)
• четвертый угол: \( a_4 = k \cdot 4 \)
• пятый угол: \( a_5 = k \cdot 4 \)
• шестой угол: \( a_6 = k \cdot 4 \)

Теперь найдём сумму углов:

\[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = k \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4) = k \cdot 18 \]

У нас есть также условие, что эта сумма равна 720°:

\[ k \cdot 18 = 720^\circ \]

Решим для \( k \):

\[ k = \frac{720^\circ}{18} = 40^\circ \]

Теперь можем найти величины углов:

• \( a_1 = 1 \cdot k = 40^\circ \)
• \( a_2 = 2 \cdot k = 80^\circ \)
• \( a_3 = 3 \cdot k = 120^\circ \)
• \( a_4 = 4 \cdot k = 160^\circ \)
• \( a_5 = 4 \cdot k = 160^\circ \)
• \( a_6 = 4 \cdot k = 160^\circ \)

Наименьший угол шестиугольника:

\[ \boxed{40^\circ} \]