в прямоугольном треугольнике периметр и гипотенуза соответственно равны 36 см и 15 см найдите радиус окружности описанной около треугольника и радиус окружности вписанной в…
В прямоугольном треугольнике периметр и гипотенуза соответственно равны 36 см и 15 см найдите радиус окружности описанной около треугольника и радиус окружности вписанной в треугольник
В прямоугольном треугольнике, если известны периметр \( P \) и гипотенуза \( c \), можно найти радиусы окружностей, описанной и вписанной около треугольника.
Давайте сначала обозначим стороны прямоугольного треугольника:
- Гипотенуза \( c = 15 \, \text{см} \)
- Остальные стороны обозначим как \( a \) и \( b \).
- Периметр \( P = a + b + c = 36 \, \text{см} \)
Так как \( c = 15 \, \text{см} \), получим: \[ a + b + 15 = 36 \] Отсюда следует: \[ a + b = 21 \, \text{см} \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( a + b = 21 \)
- \( c = 15 \)
Согласно теореме Пифагора, мы знаем, что: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Подставим значение гипотенузы: \[ a^2 + b^2 = 15^2 = 225 \]
Теперь мы можем выразить одну из сторон через другую. Подставим \( b = 21 - a \) в уравнение Пифагора: \[ a^2 + (21 - a)^2 = 225 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (441 - 42a + a^2) = 225 \] Объединим подобные: \[ 2a^2 - 42a + 441 - 225 = 0 \] Упростим: \[ 2a^2 - 42a + 216 = 0 \] Разделим на 2: \[ a^2 - 21a + 108 = 0 \]
Теперь можем использовать дискриминант для нахождения корней: \[ D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 441 - 432 = 9 \] Корни уравнения: \[ a_{1,2} = \frac{21 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{21 \pm 3}{2} \] Получим: \[ a_1 = \frac{24}{2} = 12 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{18}{2} = 9 \] Таким образом, стороны прямоугольного треугольника равны \( a = 12 \, \text{см} \) и \( b = 9 \, \text{см} \).
Теперь найдём радиус описанной окружности \( R \): Формула для описанной окружности в прямоугольном треугольнике: \[ R = \frac{c}{2} = \frac{15}{2} = 7,5 \, \text{см} \]
И радиус вписанной окружности \( r \): Формула для вписанной окружности в прямоугольном треугольнике: \[ r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{21 - 15}{2} = \frac{6}{2} = 3 \, \text{см} \]
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника, равен 7,5 см, а радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 3 см.
