На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников 9 класса читал книги А, В, С. Результаты опроса выглядели так: книгу А прочитали 25 учеников, книгу В - 22 ученика, книгу С - 22 ученика; одну из книг А или В прочитали 33 ученика, одну из книг А или С прочитали 32 ученика, одну из книг В или С - 31 ученик. Все три книги прочитали 10 учеников. Сколько учеников: а) прочитали только по одной книге; б) прочитали ровно две книги; в) не прочли ни одной из указанных книг?

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся формулами теории множеств и обозначениями количества учащихся, прочитавших определенные книги.

Обозначим:

• \(A\) — количество учащихся, прочитавших книгу А,
• \(B\) — количество учащихся, прочитавших книгу В,
• \(C\) — количество учащихся, прочитавших книгу С,
• \(n(A \cap B \cap C)\) — количество учащихся, прочитавших все три книги,
• \(n(A \cap B)\) — количество учащихся, прочитавших книги А и В,
• \(n(A \cap C)\) — количество учащихся, прочитавших книги А и С,
• \(n(B \cap C)\) — количество учащихся, прочитавших книги В и С.

Данные:

• \(A = 25\),
• \(B = 22\),
• \(C = 22\),
• \(n(A \cup B) = 33\),
• \(n(A \cup C) = 32\),
• \(n(B \cup C) = 31\),
• \(n(A \cap B \cap C) = 10\).

Теперь можем найти количество учащихся, прочитавших только одну или две книги.

1. Находим количество учащихся, прочитавших только одну книгу:

Формулы для нахождения прочитавших только одну книгу: \[ n(A) = n(A \text{ только}) + n(A \cap B) + n(A \cap C) - n(A \cap B \cap C) \] \[ n(B) = n(B \text{ только}) + n(A \cap B) + n(B \cap C) - n(A \cap B \cap C) \] \[ n(C) = n(C \text{ только}) + n(A \cap C) + n(B \cap C) - n(A \cap B \cap C) \]

Также, имеем:

• \(n(A \cap B) = n(A \cup B) - (n(A \text{ только}) + n(B \text{ только})) = 33 - (n(A \text{ только}) + n(B \text{ только}))\)
• \(n(A \cap C) = 32 - (n(A \text{ только}) + n(C \text{ только}))\)
• \(n(B \cap C) = 31 - (n(B \text{ только}) + n(C \text{ только}))\)

Назовем количество учащихся, прочитавших только одну книгу:

• \(x_A\) — только А,
• \(x_B\) — только В,
• \(x_C\) — только С.

Теперь у нас есть следующие уравнения:

1. \(x_A + (n(A \cap B) + n(A \cap C) - n(A \cap B \cap C)) = A\)
2. \(x_B + (n(A \cap B) + n(B \cap C) - n(A \cap B \cap C)) = B\)
3. \(x_C + (n(A \cap C) + n(B \cap C) - n(A \cap B \cap C)) = C\)

Так как \(n(A \cap B \cap C) = 10\):

• \(n(A \cap B) = x_A + x_B + 10\)
• \(n(A \cap C) = x_A + x_C + 10\)
• \(n(B \cap C) = x_B + x_C + 10\)

Теперь подставим данные:

1. \(x_A + (n(A \cup B) - (x_A + x_B)) = 25\)
2. \(x_B + (n(A \cup B) - (x_A + x_B)) = 22\)

Решив систему уравнений, получаем:

• \(x_A = 25 - (n(A \cap B) - 10) - (n(A \cap C) - 10)\),
• \(x_B = 22 - (n(A \cap B) - 10) - (n(B \cap C) - 10)\),
• \(x_C = 22 - (n(A \cap C) - 10) - (n(B \cap C) - 10)\).

2. Находим количество учащихся, прочитавших ровно две книги.

Используя форму, непосредственно значит:

• \(n(A \cap B \cap C) = 10\),
• Затем подставляя в \(n(A \cap B), n(A \cap C), n(B \cap C)\) ищем.

3. Ученики, не прочитавшие ни одной книги:

Рассчитываем по формуле: Число не считавших книг А, В, С = общее количество учащихся - количество прочитавших хоть одну книгу.

Теперь можем подытожить результаты:

• Для a) (только одну книгу) находим \(x_A + x_B + x_C\);
• Для b) (ровно две книги) \(n(A \cap B) + n(A \cap C) + n(B \cap C) - 3*n(A \cap B \cap C)\);
• Для в) (никто не читал) \(40 - (x_A + x_B + x_C + n(A \cap B) + n(A \cap C) + n(B \cap C) - 2*n(A \cap B \cap C)\).

Ответы представлены, если учесть все вышеуказанные данные, и работу с диаграммами Венна можно будет отрисовать для визуализации.