7. Числа называются взаимно простыми, если их НОД равен единице (иными словами, если у них нет общих делителей, отличных от единицы). Покажите, что числа 175 и 198 являются взаимно простыми. Придумайте три пары взаимно простых чисел и найди их НОК. Вообще, чему равно НОК(а,b) для взаимно простых чисел а и b? Почему? и просты, то нок(,
Давайте подробно разберем ваш вопрос.
Чтобы показать, что числа 175 и 198 являются взаимно простыми, нужно вычислить их наибольший общий делитель (НОД). Если НОД равен 1, значит, эти числа взаимно простые.
Для нахождения НОД можно использовать алгоритм Евклида. Начнем с разложения каждого числа на простые множители:
- 175: это 5 × 5 × 7, т.е. \( 175 = 5^2 \times 7 \).
- 198: это 2 × 3 × 33 (и 33 = 3 × 11), т.е. \( 198 = 2 \times 3^2 \times 11 \).
Теперь посмотрим на множители двух чисел. Мы видим, что у 175 есть множители 5 и 7, а у 198 — 2, 3 и 11. Нет ни одного общего множителя между этими числами, кроме 1. Таким образом, НОД(175, 198) = 1.
Это и доказывает, что 175 и 198 являются взаимно простыми числами.
Теперь давайте придумаем три пары взаимно простых чисел и найдем их наименьшее общее кратное (НОК):
Пара 1: 8 и 15
- \( НОД(8, 15) = 1 \), т.к. 8 = \( 2^3 \), а 15 = 3 × 5.
- НОК(8, 15) = \( \frac{8 \times 15}{1} = 120 \).
Пара 2: 9 и 28
- \( НОД(9, 28) = 1 \), т.к. 9 = \( 3^2 \), а 28 = \( 2^2 \times 7 \).
- НОК(9, 28) = \( \frac{9 \times 28}{1} = 252 \).
Пара 3: 14 и 25
- \( НОД(14, 25) = 1 \), т.к. 14 = 2 × 7, а 25 = \( 5^2 \).
- НОК(14, 25) = \( \frac{14 \times 25}{1} = 350 \).
Теперь, говоря о НОК для взаимно простых чисел a и b: Для двух взаимно простых чисел, НОК(a, b) равно произведению этих чисел. Это происходит потому, что, как выяснили, их единственный общий делитель - это 1. Таким образом, формула выглядит так: \[ НОК(a, b) = \frac{a \times b}{НОД(a, b)} = a \times b, \, если \, НОД(a, b) = 1. \]
Это прекрасное свойство делает взаимно простые числа особенными! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
