(7-3х)×(x-1)≥0

Давайте решим неравенство \( (7 - 3x)(x - 1) \geq 0 \).

1. Найдем нули выражения: Для этого приравняем каждое из множителей к нулю.

   • \( 7 - 3x = 0 \)
     Решим это уравнение:
     \( 3x = 7 \)
     \( x = \frac{7}{3} \)

   • \( x - 1 = 0 \)
     Решим это уравнение:
     \( x = 1 \)

   Таким образом, мы имеем два критических значения: \( x = 1 \) и \( x = \frac{7}{3} \).

2. Определим интервалы: Эти нули разделяют числовую ось на три промежутка:

   • \( (-\infty, 1) \)
   • \( (1, \frac{7}{3}) \)
   • \( (\frac{7}{3}, +\infty) \)

3. Проверим знак в каждом интервале: Для этого выберем по одному тестовому значению из каждого интервала и подставим его в неравенство.

   • Для интервала \( (-\infty, 1) \), например, возьмем \( x = 0 \):
     \( (7 - 3 \cdot 0)(0 - 1) = (7)(-1) = -7 < 0 \)

   • Для интервала \( (1, \frac{7}{3}) \), например, возьмем \( x = 2 \):
     \( (7 - 3 \cdot 2)(2 - 1) = (7 - 6)(1) = (1)(1) = 1 > 0 \)

   • Для интервала \( (\frac{7}{3}, +\infty) \), например, возьмем \( x = 3 \):
     \( (7 - 3 \cdot 3)(3 - 1) = (7 - 9)(2) = (-2)(2) = -4 < 0 \)

4. Результаты: Мы обнаружили, что знаки в интервалах следующие:

   • \( (-\infty, 1) \): знак отрицательный
   • \( (1, \frac{7}{3}) \): знак положительный
   • \( (\frac{7}{3}, +\infty) \): знак отрицательный

5. Проверка границ: У нас есть условие неравенства \( \geq 0 \), поэтому нужно включить границы, где произведение равно нулю:

   • При \( x = 1 \) и \( x = \frac{7}{3} \), \( (7 - 3x)(x - 1) = 0 \).

6. Окончательный ответ: Объединив результаты, мы получаем, что неравенство \( (7 - 3x)(x - 1) \geq 0 \) выполняется на интервале: \[ [1, \frac{7}{3}] \]

Таким образом, решением данного неравенства является интервал \( x \in [1, \frac{7}{3}] \).