8x²-2/3x²+x≥0
Чтобы решить неравенство \(8x^2 - \frac{2}{3}x^2 + x \geq 0\), сначала упростим его:
Приведём подобные члены. У нас есть два членa с \(x^2\): \[ 8x^2 - \frac{2}{3}x^2 = \left(8 - \frac{2}{3}\right)x^2 \] Чтобы вычесть \(8\) и \(\frac{2}{3}\), сначала представим \(8\) в виде дроби: \[ 8 = \frac{24}{3} \] Теперь: \[ 8 - \frac{2}{3} = \frac{24}{3} - \frac{2}{3} = \frac{22}{3} \] Таким образом, мы можем переписать неравенство как: \[ \frac{22}{3}x^2 + x \geq 0 \]
Теперь умножим всё неравенство на \(3\) (это не изменит направление неравенства, так как \(3\) положительно): \[ 22x^2 + 3x \geq 0 \]
Теперь факторизуем выражение: \[ x(22x + 3) \geq 0 \]
Далее, находим корни уравнения \(x(22x + 3) = 0\):
- Корень 1: \(x = 0\)
- Корень 2: \(22x + 3 = 0\) \(\Rightarrow x = -\frac{3}{22}\)
Теперь у нас есть два корня, которые разбивают числовую прямую на три интервала:
- \(x < -\frac{3}{22}\)
- \(-\frac{3}{22} < x < 0\)
- \(x > 0\)
Проверим знак произведения \(x(22x + 3)\) в каждом из этих интервалов:
Для \(x < -\frac{3}{22}\), выберем, например, \(x = -1\): \[ -1(22 \cdot -1 + 3) = -1(-22 + 3) = -1(-19) = 19 > 0 \] (положительный)
Для \(-\frac{3}{22} < x < 0\), выберем, например, \(x = -\frac{1}{22}\): \[ -\frac{1}{22}(22 \cdot -\frac{1}{22} + 3) = -\frac{1}{22}( -1 + 3) = -\frac{1}{22}(2) = -\frac{2}{22} < 0 \] (отрицательный)
Для \(x > 0\), например \(x = 1\): \[ 1(22 \cdot 1 + 3) = 1(22 + 3) = 25 > 0 \] (положительный)
Подводим итог:
- Знак положительный на интервале \(x < -\frac{3}{22}\) и \(x > 0\), а отрицательный на интервале \(-\frac{3}{22} < x < 0\).
- Учитывая, что мы ищем, где неравенство выполняется, ответ будет включать корни.
Таким образом, решение неравенства: \[ x \in \left(-\infty, -\frac{3}{22}\right] \cup [0, +\infty) \]
