Докажите что если векторы АВ и СД равны то середины отрезков АД и ВС совпадают

Чтобы показать, что если векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) равны, то середины отрезков \(AD\) и \(BC\) совпадают, начнем с определения.

Пусть \(A\), \(B\), \(C\), и \(D\) – четыре точки на плоскости или в пространстве, и \(\vec{AB} = \vec{CD}\). Это значит, что вектор от точки \(A\) к точке \(B\) равен вектору от точки \(C\) к точке \(D\).

Пусть \(M\) будет серединой отрезка \(AD\), а \(N\) – серединой отрезка \(BC\):

1. Середина отрезка \(AD\) выражается как: \[ M = \frac{A + D}{2} \]

2. Середина отрезка \(BC\) выражается как: \[ N = \frac{B + C}{2} \]

Теперь, учитывая, что \(\vec{AB} = \vec{CD}\), можно записать это аналитически: \[ \vec{AB} = B - A \quad \text{и} \quad \vec{CD} = D - C \] Таким образом, у нас есть равенство: \[ B - A = D - C \] Из этого уравнения следуем, что: \[ B = A + (D - C) \]

Теперь подставим это выражение для \(B\) в формулу для \(N\): \[ N = \frac{(A + (D - C)) + C}{2} = \frac{A + D - C + C}{2} = \frac{A + D}{2} = M \]

Таким образом, мы получили, что: \[ N = M \] Это значит, что середины отрезков \(AD\) и \(BC\) совпадают.

Следовательно, доказано, что если векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) равны, то середины отрезков \(AD\) и \(BC\) совпадают.