Дан прямоугольник ABCD, в котором диагональ AC смыкает сторону AD на 30°. Известно, что длина вектора AC равна 76 см.  Какова длина стороны DC прямоугольника?

Чтобы найти длину стороны DC прямоугольника ABCD, воспользуемся свойствами прямоугольника и тригонометрией.

1. Обозначим длину стороны DC как \( x \). Поскольку ABCD - прямоугольник, длина стороны AB также равна \( x \), так как противоположные стороны равны.

2. Вектор AC является диагональю прямоугольника, и по свойствам прямоугольника можно выразить его длину через стороны: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + h^2} \] где \( h \) - длина стороны AD (которая равна стороне BC).

3. Векторы AD и AC образуют угол 30°. Мы можем использовать тригонометрические функции, чтобы выразить \( h \) через длину вектора AC. Угловое соотношение поможет нам: \[ \cos(30^\circ) = \frac{DC}{AC} \] Отсюда: \[ x = AC \cdot \cos(30^\circ) \]

4. Напомним, что \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Тогда подставим значение в формулу: \[ x = 76 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 38\sqrt{3} \]

5. Теперь численно приближенно \( 38\sqrt{3} \approx 38 \cdot 1.732 \approx 65.8 \) см.

Таким образом, длина стороны DC прямоугольника ABCD составляет примерно 65.8 см.