х²-5х-36<0
Чтобы решить неравенство \(x^2 - 5x - 36 < 0\), нам нужно сначала найти корни соответствующего уравнения \(x^2 - 5x - 36 = 0\) с помощью дискриминанта.
Рассчитаем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 \]
Найдем корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 13}{2} \] Таким образом, корни будут: \[ x_1 = \frac{18}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \]
Теперь нам нужно определить, на каких интервалах квадратичная функция \(x^2 - 5x - 36\) меньше нуля. Корни разделят числовую ось на три интервала: \((-\infty, -4)\), \((-4, 9)\) и \((9, +\infty)\).
Проверим знаки функции на каждом из интервалов:
Для интервала \((-\infty, -4)\), например, подставим \(x = -5\): \[ (-5)^2 - 5(-5) - 36 = 25 + 25 - 36 = 14 > 0 \]
Для интервала \((-4, 9)\), например, подставим \(x = 0\): \[ 0^2 - 5 \cdot 0 - 36 = -36 < 0 \]
Для интервала \((9, +\infty)\), например, подставим \(x = 10\): \[ 10^2 - 5 \cdot 10 - 36 = 100 - 50 - 36 = 14 > 0 \]
Мы видим, что функция \(x^2 - 5x - 36\) меньше нуля на интервале \((-4, 9)\).
Таким образом, решение неравенства \(x^2 - 5x - 36 < 0\): \[ \boxed{(-4, 9)} \]
