В треугольнике ABC угол C равен 90 ∘ , AB = 1 , cos ( B ) = 1 9 . Найдите BC

В треугольнике \( ABC \) угол \( C \) равен \( 90^\circ \), что означает, что это прямоугольный треугольник, где \( AB \) является гипотенузой. Даны следующие данные:

• \( AB = 1 \)
• \( \cos(B) = \frac{1}{9} \)

Для нахождения стороны \( BC \), будем использовать определение косинуса и теорему Пифагора. По определению косинуса:

\[ \cos(B) = \frac{AC}{AB} \]

Где \( AC \) — сторона, прилежащая к углу \( B \) (которая также является одной из катетов). Подставляем известные значения:

\[ \frac{AC}{1} = \frac{1}{9} \]

Отсюда следует, что:

\[ AC = \frac{1}{9} \]

Теперь применим теорему Пифагора для нахождения стороны \( BC \):

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ 1^2 = \left(\frac{1}{9}\right)^2 + BC^2 \] \[ 1 = \frac{1}{81} + BC^2 \]

Теперь вычтем \( \frac{1}{81} \):

\[ BC^2 = 1 - \frac{1}{81} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ BC^2 = \frac{81}{81} - \frac{1}{81} = \frac{80}{81} \]

Теперь найдём \( BC \) взяв квадратный корень:

\[ BC = \sqrt{\frac{80}{81}} = \frac{\sqrt{80}}{9} = \frac{4\sqrt{5}}{9} \]

Таким образом, длина стороны \( BC \) равна \( \frac{4\sqrt{5}}{9} \).