В треугольнике ABC угол C равен 90 ∘ , AB = 1 , cos ( B ) = 1 9 . Найдите BC

В треугольнике ABC, где угол C равен 90°, AB – это гипотенуза, а BC и AC – это катеты. Также известно, что AB = 1 и cos(B) = 1/9.

Сначала давайте воспользуемся определением косинуса угла. Для угла B в прямоугольном треугольнике косинус вычисляется как отношение длины прилежащего катета (в данном случае AC) к длине гипотенузы (AB):

\[ \cos(B) = \frac{AC}{AB} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{AC}{1} = \frac{1}{9} \]

Отсюда следует, что:

\[ AC = \frac{1}{9} \]

Теперь, чтобы найти длину катета BC, воспользуемся теоремой Пифагора. По теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 1^2 = \left(\frac{1}{9}\right)^2 + BC^2 \]

\[ 1 = \frac{1}{81} + BC^2 \]

Теперь вычтем \(\frac{1}{81}\) из обеих сторон уравнения:

\[ BC^2 = 1 - \frac{1}{81} \]

Чтобы выполнить вычитание, приведем 1 к общему знаменателю:

\[ 1 = \frac{81}{81} \]

Таким образом:

\[ BC^2 = \frac{81}{81} - \frac{1}{81} = \frac{80}{81} \]

Теперь найдем BC, взяв корень из обеих сторон:

\[ BC = \sqrt{\frac{80}{81}} = \frac{\sqrt{80}}{9} = \frac{4\sqrt{5}}{9} \]

Итак, длина катета BC равна:

\[ BC = \frac{4\sqrt{5}}{9} \]

Если вам нужно больше информации или дополнительные пояснения, с радостью помогу!