Вероятность и статистика на 12.09 (Чт): Задание. Если игрок выигрывает партию, то он зарабатывает 1 балл, если проигрывает – -1 балл, а в случае ничьей – 0 баллов. Ксюша выигрывает с вероятностью 0,7, а проигрывает с вероятностью 0,1. Постройте ряд распределения и вычислите математическое ожидание, числа очков, которые может набрать Ксюша в двух партиях.
Давайте разберем задачу поочередно.
Ксюша может получить три возможных результата в партии: выигрыш, проигрыш и ничья. Из условия известно, что:
- Вероятность выигрыша (1 балл) = 0,7
- Вероятность проигрыша (-1 балл) = 0,1
- Вероятность ничьей (0 баллов) = 1 - 0,7 - 0,1 = 0,2
Теперь, когда мы знаем вероятности, давайте рассмотрим возможные результаты Ксюши в двух партиях. Для этого мы можем составить ряд распределения.
Возможные результаты в двух партиях:
2 выигрыша (1 + 1 = 2 балла)
- Вероятность: \( 0,7 \times 0,7 = 0,49 \)
1 выигрыш и 1 ничья (1 + 0 = 1 балл)
- Возможные случаи: выиграть первую и сыграть в ничью во второй, или сыграть в ничью в первой и выиграть во второй.
- Вероятность: \( 0,7 \times 0,2 + 0,2 \times 0,7 = 0,14 + 0,14 = 0,28 \)
1 выигрыш и 1 проигрыш (1 - 1 = 0 баллов)
- Возможные случаи: выиграть первую и проиграть вторую, или проиграть первую и выиграть вторую.
- Вероятность: \( 0,7 \times 0,1 + 0,1 \times 0,7 = 0,07 + 0,07 = 0,14 \)
1 ничья и 1 проигрыш (0 - 1 = -1 балл)
- Возможные случаи: сыграть в ничью в первой и проиграть во второй, или проиграть первую и сыграть в ничью во второй.
- Вероятность: \( 0,2 \times 0,1 + 0,1 \times 0,2 = 0,02 + 0,02 = 0,04 \)
2 ничьи (0 + 0 = 0 баллов)
- Вероятность: \( 0,2 \times 0,2 = 0,04 \)
1 ничья и 1 выигрыш (0 + 1 = 1 балл) – уже учтено ранее.
1 ничья и 1 проигрыш (0 - 1 = -1 балл) – уже учтено ранее.
2 проигрыша (-1 -1 = -2 балла)
- Вероятность: \( 0,1 \times 0,1 = 0,01 \)
Теперь структурируем результаты и их вероятности в ряд:
| Очки | Вероятность |
|---|---|
| 2 | 0,49 |
| 1 | 0,28 |
| 0 | 0,14 |
| -1 | 0,04 |
| -2 | 0,01 |
Вычисление математического ожидания
Математическое ожидание \( E(X) \) можно вычислить по формуле: \[ E(X) = \sum (x_i \cdot P(x_i)) \] где \( x_i \) — значение очков, а \( P(x_i) \) — вероятность этого значения.
Подставляем значения:
\[ E(X) = 2 \cdot 0,49 + 1 \cdot 0,28 + 0 \cdot 0,14 + (-1) \cdot 0,04 + (-2) \cdot 0,01 \]
Теперь считаем:
\[ E(X) = 0,98 + 0,28 + 0 - 0,04 - 0,02 = 1,20 \]
Ответ
Математическое ожидание очков, которые может набрать Ксюша в двух партиях, составляет 1,20.
Если у вас есть вопросы по решению или другим темам, не стесняйтесь задавать!
